Средние величины.
К обобщающим количественным показателям относятся также средние величины, позволяющие получить обобщенную характеристику качественно однородной совокупности явлений по определенному количественному признаку.
Как отмечалось ранее, массовые явления обладают как общими, так и индивидуальными свойствами, различия между которыми называют вариацией. В средней величине влияние случайных причин взаимно погашается и средняя, абстрагируясь от индивидуальных особенностей отдельных единиц совокупности, выражает общие свойства, присущие всем единицам совокупности.
Средняя арифметическая (простая)
Sx
X = --------
n
получается путем простого суммирования отдельных значений признака x и делением полученной суммы S на количество признака n. Эта формула применяется тогда, когда значения не повторяются.
В отличие от относительных величин они характеризуют совокупность исследуемых явлений не по качественному, а по количественному признаку и выражаются именованными, а не отвлеченными, числами. Например, средняя нагрузка в количестве уголовных дел на одного следователя.
|
|
Если в изучаемой совокупности есть варианты признака, одинаковые для целого ряда единиц, то число этих одинаковых вариантов называется весами, или частотами.
Взвешенная средняя арифметическая
Sхk x – варианты;
X = --------
Sk k – веса;
Рассмотрим средний возраст правонарушителей
Возраст | Кол-во лиц |
Средняя простая: (15+16+17+18)/4=16.5
Средняя взвешенная: (15х100+16х150+17х150+18х600)/1000=17.25
Иногда значение признака уменьшается при увеличении характеризуемых ими явлений или увеличиваются при уменьшении (средний процент выполнения плана обратно пропорционален величине планового задания). Тогда применяется
Средняя гармоническая
n
Xгарм = --------
S1/x где х – отдельные варианты, а n –их число.
Например, если объем продукции предприятия №1 составил 12 млн. рублей (200% от плана), а №2 – 12 млн. рублей (120%), то тогда средний процент выполнения составит (120+200)/2=160%. Но фактически, если план предприятия №1 – 6 млн.: (12х100)/200=6, а предприятия №2 – 10 млн.: (12х100)/120=10, процент перевыполнения плана будет при плане 10+6=16 млн. фактически 24 млн.: 24/16х100%=150%.
Для установления средних показателей темпов роста рядов динамики используется
Средняя геометрическая
Xg = n√Пx n – число значений признака, П – знак перемножения.
Динамика взяточничества в России:
Год | Абс.величина | Абс.прирост | Темп роста в разах | Темп роста в % |
1.0 | 100 % | |||
+797 | 1.315 | 131.5 % | ||
+1166 | 1.350 | 135 % | ||
+392 | 1.087 | 108.7 % | ||
+32 | 1.007 | 100.7 % | ||
+532 | 1.108 | 110.8 | ||
Средний | +583.8 | 117.34 % |
Xg = 5√ 1.315х1.35х1.087х1.007х1.108=5√2.153=1.166 или 116.6%.
|
|
Можно определить среднюю величину без производства вычислений, как бы визуально. Для этого используют такие средние величины как мода и медиана (структурные позиционные средние).
Мода – это наиболее часто встречающаяся величина (наибольшая частота).
Медиана – это средняя вариантов ранжированного (упорядоченного) ряда, расположенного в определенном порядке (по возрастанию или убыванию). Она делит такой ряд пополам.