Если случайные величины, образующие систему, зависимы, то для нахождения закона распределения системы недостаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Требуется еще знать так называемый условный закон распределения одной из них.
Определение. Условным законом распределения одной из величин , входящих в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.
Начнем с наиболее простого случая. Пусть случайная величина Y является дискретной.
Определение. Условной функцией распределения случайной величины X при условии называется условная вероятность события при условии события , т.е.
.
Аналогично определяется условная функция распределения случайной величины Y при условии (когда случайная величина X является дискретной):
.
Замечание 1. Условная функция распределения обладает всеми свойствами, которые присущи обычной (безусловной) функции распределения.
Замечание 2. Если случайная величина X также дискретная, причем , то удобно рассматривать условную вероятность случайной величине X принять значение при условии :
.
Обычно условное распределение описывают с помощью таблицы. Ясно, что элементы второй строки этой таблицы получаются по формулам .
Аналогично определяется условная вероятность случайной величине Y принять значение при условии :
Пример 2.2.20. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:
Y X | ||
–1 | 0,3 | 0,25 |
0,1 | 0,05 | |
0,2 | 0,1 |
Описать условные законы распределения: 1) случайной величины X при условии ; 2) случайной величины Y при условии .
Решение. Найдем безусловные законы распределения компонент X и Y:
Y X | |||
–1 | 0,3 | 0,25 | 0,55 |
0,1 | 0,05 | 0,15 | |
0,2 | 0,1 | 0,3 | |
0,6 | 0,4 |
1) Условные вероятности случайной величине X принять значения () при условии вычисляются по формулам:
,
,
.
Тогда условный закон распределения случайной величины X при условии имеет вид:
X | –1 | Контроль: | ||
2) Условные вероятности случайной величине Y принять значения () при условии вычисляются по формулам:
,
.
Тогда условный закон распределения случайной величины Y при условии имеет вид:
Y | Контроль: | ||
В общем случае условную функцию распределения случайной величины X при условии также естественно было бы определить формулой
.
Однако это не всегда возможно (например, для непрерывной случайной величины Y событие имеет нулевую вероятность). Во избежание этих неприятностей, вместо события рассматривается событие и D устремляется к нулю. Тогда
.
Тогда условной функцией распределения называется предел
.
Оказывается, такой предел всегда существует. Аналогично
Если случайная величина Y непрерывна, то условную функцию распределения можно определить следующим выражением:
.
Аналогично
.
В наиболее важных для приложений случаях вектор представляет собой двумерную непрерывную случайную величину с совместной плотностью . Тогда
, .
Нетрудно видеть, что условная функция распределения имеет производную по x, т.е. существует условная плотность распределения случайной величины X при условии :
.
Аналогично
.
Пример 2.2.21. В примере 2.2.10 была дана функция плотности :
и найдены безусловные плотности распределения компонент X и Y:
Найти условные плотности распределения компонент X и Y.
Решение. Условные плотности распределения компонент X и Y находятся по формулам , .
Поэтому
Таким образом, случайная величина X при условии равномерно распределена на отрезке , а случайная величина Y при условии равномерно распределена на отрезке . Условная плотность не определена при , а условная плотность не определена при .
Пример 2.2.22. Дан двумерный случайный вектор , где X – время появления в магазине первого покупателя в понедельник, а Y – время появления в магазине первого покупателя во вторник. Установлено, что , если . Найти: , , , . Установить, зависимы или нет случайные величины X и Y.
Решение. Найдем вначале функцию распределения случайного вектора :
, ;
в остальных случаях.
Тогда по свойству 4 совместной функции распределения получим:
при , при .
Отсюда при , при .
Найдем теперь условные функции распределения компонент:
при ,
аналогично при .
Получим теперь условные плотности компонент:
при ,
при .
Поскольку , , то . Поэтому случайные величины X и Y независимы. Это означает, что появление в магазине первого покупателя во вторник не зависит от того, когда в магазин пришел первый покупатель в понедельник.
Ответ: при положительных x и y , , , ; случайные величины X и Y независимы.
Пример 2.2.23. Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины :
.
Найти: 1) плотности распределения компонент X и Y; 2) условные плотности распределения компонент X и Y.
Решение. 1) Найдем вначале плотность распределения компоненты X:
.
Вынося за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополнив оставшийся показатель степени до полного квадрата, получим:
.
Учитывая, что интеграл Пуассона , найдем плотность распределения компоненты X:
.
Аналогично найдем плотность распределения компоненты Y:
.
2) Найдем условные плотности распределения компонент X и Y. Выполнив элементарные выкладки, получим:
, .
Ответ: 1) , ;
2) , .