ТЕОРЕМА. Класс детерминированных функций замкнут относительно операции суперпозиции. ■
ТЕОРЕМА. Класс ограниченно-детерминированных функций замкнут относительно суперпозиции.
Доказательство. Пусть – две ограниченно-детерминированные функции. Рассмотрим функцию Выпишем канонические уравнения для и :
Покажем, что можно задать каноническими уравнениями.
Пусть
Тогда уравнения
задают ограниченно-детерминированную функцию. Повторив эти рассуждения несколько раз, можно доказать теорему и для любой другой суперпозиции.
Детерминированная функция зависит от с запаздыванием, если для любых входных последовательностей
и любого момента времени значение полностью определяется значениями первых членов последовательностей и значениями первых членов последовательности , т.е. не зависит от .
Пример. Рассмотрим детерминированную функцию из , для которой и, т.е. осуществляет сдвиг входной последовательности на один разряд. На рис. 10.7 представлено дерево для , из которого видно, что – ограниченно-детерминированная функция веса 2 и имеет канонические уравнения
|
|
Ограниченно-детерминированная функция зависит от , с запаздыванием можно задать каноническими уравнениями
в которых существенно не зависит от . В приведенном выше примере , т.е. не зависит существенно от х.
Определим операцию введения обратной связи О. Пусть – система детерминированных функций и пусть зависит от переменной хj, с запаздыванием. Рассматривая эту систему как преобразователь с n входами и m выходами, соединим выход d с входом j («обратная связь» между выходом d и входом j).
Система канонических уравнений ограниченно-детерминированной функции для :
преобразуется к виду
Пример. Рассмотрим систему ограниченно-детерминированной функции, задаваемую каноническими уравнениями:
Обе функции зависят от переменной и, с запаздыванием. Посредством тождества введем обратную связь. Получим канонические уравнения:
Таким образом, результатом операции О является ограниченно-детерминированная функция, представляющая сложение двух последовательностей.
ТЕОРЕМА. Класс ограниченно-детерминированных функций замкнут относительно операции О. ■