1. Смешанное произведение не зависит от порядка векторного и скалярного умножения, т.е. не изменится при перестановке знаков умножения.
= (8.13)
Доказательство.
= , = , причем одного знака, так как тройки , , и , , – обе правые. Значит, = . Отсюда, = .
Это свойство позволяет записывать смешанное произведение векторов без знаков векторного и скалярного умножения.
2. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке множителей:
(8.14)
Доказательство. 1) ; 2) если тройка векторов , , – правая, то тройки , , и , , – тоже правые.
3. Смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановке двух множителей:
, , (8.15)
Доказательство. самостоятельно
1) ; 2) если тройка векторов , , – правая, то тройки , , – левые.
4. Если ( )>0, то тройка векторов , , – правая; если ( )<0, то тройка векторов , , – левая.
5. Теорема.
Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны
(8.16)
Доказательство.
1) Дано: . Докажем, что векторы , , компланарны.
|
|
Þ = SH =0 Þ а) S =0 или б) Н =0.
а) S =0 Þ Þ , коллинеарны Þ , , компланарны;
б) Н =0 Þ , где Þ Þ , , компланарны.
2) Дано: векторы , , компланарны. Докажем, что .
=0 Þ .
Теорема доказана.
6. Условие компланарности трех векторов: ( )=0.