1. (коммутативность).
2. (ассоциативность относительно умножения на
число).
3. (дистрибутивность относительно сложения).
Замечание 1. Указанные свойства дают право при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не заботясь о порядке сомножителей. Например,
Замечание 2. Скалярного произведения трех векторов не существует.
4. Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Скалярный квадрат вектора, равен квадрату его длинны:
.
Это свойство можно использовать для нахождения длин векторов. Например, найти длину вектора , где Имеем:
откуда .
5. Если , то (т.к. ), но важно и обратное утверждение: если , то векторы взаимно перпендикулярны. Действительно, равенство возможно, если: 1) , или 2) , или 3) . В первом случае сразу получаем . Второй (третий) случай означает, что вектор () есть нулевой вектор, направление которого можно считать каким угодно, в частности перпендикулярным .
Сказанное выше можно сформулировать как условие перпендикулярности векторов:
|
|
векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.