1. Фокальное свойство: эллипс – это ГМТ (геометрическое место точек), сумма расстояний которых до фокусов постоянна и равна .
Доказательство:
Рассмотрим и . Покажем, что .
Найдём и . Тогда ;
; ; ; . Разделим обе части равенства на , получим . ■
2. Директориальное свойства: эллипс – ГМТ (геометрическое место точек), отношение расстояний от которых до фокусов и до соответствующих директрис равно .
Доказательство:
Обозначим через расстояние от точки до директрисы . Покажем, что .
Пусть . Тогда ; . Так как , то , ;
;
. ■
3. Оптическое свойство: эллипс – ГМТ (геометрическое место точек), касательные в которых образуют равные острые углы с фокальными радиусами и , т.е. .
Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус .
Касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами острые одинаковые углы. Это свойство называется оптическим, т.к. все лучи, выходящие из одного фокуса, после отражения оказывается в другом (так как угол падения равен углу отражения).
|
|
Доказательство:
1. Получим сначала уравнение касательной к эллипсу в любой точке эллипса. Из уравнения эллипса , т.е. , если , и , если . Тогда и в том и в другом случае , .
Таким образом, уравнение касательной к кривой в данном случае имеет вид . Умножив это уравнение на , раскрыв скобки и учтя, что –получим уравнение касательной к эллипсу.
2. Найдём уравнение от точки до касательной. Это расстояние , где .
.
Но из директориального свойства фокальный радиус . Таким образом, . Тогда .
Проделав аналогичные выкладки, получим, что , т.е. .