Законы операций над множествами

Законы для объединения и пересечение:

1. А A = А

2. А A = А

3. А В = В А

4. А В = В А

5. А (B C) = (A В) C

6. А (B C) = (A В) C

7. А (B C) = (A В) (A C)

8. А (B C) = (A В) (A C)

9. А U = U

10. А =

11. А U = А

12. А = А

Законы для дополнений:

1. ненеА = А;

2. А неА = U

3. А неА=

4. не(А В) = неА неВ

5. не(А В) = неА неВ

6. неU =

Законы для разностей множеств:

1. А\В = А В

2. U\А = неА

3. А\U =

4. А\ = А

5. \А =

6. А\А =

7. ((А\В)\С) = А\(В С)

8. А\(В\С) = (А\В) (А С)

9. А (В\С)=(А В)\(С\А)

10. А (В\С)=(А В)\(А С)

Докажем один из законов для дополнений:

не(А В) = неА неВ.

Доказательство.

Пусть хÎне(А В). По определению операции дополнения это означает, что х А В, но хÎU. Следовательно, х А и одновременно х В. Таким образом, хÎнеА и хÎнеВ. Из определения операции пересечения получаем, что хÎ(неА неВ). Поэтому, учитывая произвольность элемента хÎне(А В), имеем не(А В) неА неВ.

Пусть теперь хÎнеА неВ. Это значит, что хÎнеА и хÎнеВ. Таким образом, х А и х В. Поэтому х А В. Следовательно, хÎU \ (А В)= не(А В). Поскольку х — произвольный элемент из неА неВ, то окончательно получаем неА неВ не(А В).

Приходим к выводу, неА неВ=не(А В). Ч.т.д.

Доказательство каждого из остальных перечисленных законов произвести самостоятельно используя определения операций над множествами определение равенства множеств т.е. множество А равно множеству В, если они состоят из одних и тех же элементов.

Задание

1. Записать множество целых чисел при помощи характеристического предиката от т до п.

Ответ:

2. Записать множество натуральных чисел при помощи порождающей процедуры

Ответ: М:= {i|i:= 0; for i from 0 to 9 do i:= i + 1; yield i end for},

3. Доказать

4. Доказать

5. Дано: множества - А: = {1,2,3}, В: = {3,4,5} и универсум U:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Определить объединение, пересечение, разность, симметрическую разность множеств А и В, а также дополнение к этим множествам.