Ряд Фурье

Разложению и ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом oни представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью и один период должен удовлетворять условиям Дирихле.

- не должно быть разрывов второго рода (с уходящими и бесконечность ветвя­ми функции);

- число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным;

- число экстремумов должно быть конечным (и качестве примера функции, ко­торая на конечном интервале имеет бесконечное число экстремумов, можно привести sin(1/x) в окрестности нуля).

ЗАМЕЧАНИЕ -

Ряд Фурье может быть применен для подставления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При етом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами усматриваемого интервала.

В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье:

- Синусно-косинусная форма. Ряд Фурье имеет следующий вид:

- Вещественая форма:

- Комплексная форма: