1. Довести що при будь-якому непарному х число х3 + 3х2 – х + 45 ділиться на 48 (трьома способами).
2. Доведіть, що (х, у) = (х+у, у) = (х+у, х) і (х, у) = (х-у, у) = (х-у, х).
3. Покажіть, що якщо, р, g – прості числа, більші трьох, то p2 – g2 ділиться на 24.
4. Розв'язати рівняння: φ (10х) = 4000; φ (6х) = 72; φ (12х) = 6912.
5. Записати ірраціональним числом такі нескінченні періодичні дроби: [0;(1,2,3)]; [1;(2,3,12)], [3;(4,11)].
6. Довести, що підмножина групи S4 є комутативною підгрупою (групу Н називають групою Клейна).
7. У множині задано операцію * таблицею Келі:
* | -1 | i | -i | j | -j | k | -k | |
-1 | i | -i | j | -j | k | -k | ||
-1 | -1 | -i | i | -j | j | -k | k | |
i | i | -i | -1 | k | -k | -j | j | |
-i | -i | i | -1 | -k | k | j | -j | |
j | j | -j | -k | k | -1 | -i | i | |
-j | -j | j | k | -k | -1 | i | -i | |
k | k | -k | j | -j | -i | i | -1 | |
-k | -k | k | -j | j | i | -i | -1 |
Довести, що алгебра є групою (її називають групою кватерніонів).
8. Довести, що в області цілісності К елементи асоційовані, якщо ;
9. У кільці цілих гауссових чисел побудувати фактор-кільце . Скласти для елементів фактор-кільця таблиці додавання і множення, знайти всі дільники нуля і обернені елементи, якщо m = 2 i, m = -3 i, m = i.
|
|
10. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне таких цілих гауссових чисел: 6 + і та 5 + 7 і.
11. Знайдіть n, при якому вираз (6n -1)/7 є цілим числом.
12. Знайдіть остачу від ділення числа 383175 на 45.
13. Розв’язати конгруенцію штучним методом 12xº15(mod 35).
14. З правої сторони до числа 25 дописати таке найменше трицифрове число, щоб знайдене п'ятицифрове число ділилося на 8, 6 і 3.
15. Розв'язати конгруенцію 2х8+х7-3х6+х5-2х4-х3+4х2+х+1º0(mod5).
16. Розв'язати конгруенцію x5-7x4+11x3-5x+1º0 (mod 12).
17. Довести, що 8 є квадратичним лишком за простим модулем р=8к+7.
18. Користуючись таблицями індексів, розв'язати конгруенцію: 15*72xº8*33x(mod31).
19. Перевірити правильність результату обчислень числом 9:
(3783 -7298348)*10+(427019-4512)*50=578298940
20. Перевірити, чи — ЗСЛ (7).