2015-06-24
316
Рассмотрим уравнение (4.1). Пусть 
- некоторое приближение к его решению. Разложим левую часть уравнения по формуле Тейлора в точке
. (4.2)
Метод Ньютона. Ограничимся в разложении (4.2) первыми двумя слагаемыми
и разрешим полученное выражение относительно х
.
Последнее соотношение принимается в качестве базового для формирования вычислительного процесса. Он описывается формулой
| (4.3) |
и называется методом Ньютона. Заметим, что правило (4.3) имеет вполне определённый геометрический смысл.
Действительно, рассмотрим уравнение касательной к графику функции 
в точке 
и определим её точку пересечения с осью ох. Имеем 
, откуда
.
Из сравнения полученного выражения с (4.2) следует вывод, что
абсцисса точки пересечения касательной, проведённой к графику функции в точке  и представляет собой следующее приближение к решению уравнения (4.1) (Рисунок 4.2).
|
 |
Рисунок 4.2. Метод Ньютона
По этой причине метод Ньютона называют ещё методом касательных.
|
|
|
Метод хорд. Рассмотрим (4.3). Заменим в нём
на 
.
В результате этого получим новое вычислительное правило
| (4.4) |
называемое методом хорд.
Выясним его геометрический смысл.
Рассмотрим точки кривой 
, 
и проведем через них прямую
.
Найдем, далее, ее точку пересечения с осью абсцисс. Имеем
, 
.
Сравнивая полученные выражения с соотношением (4.4), приходим к выводу, что
| абсцисса точки пересечения прямой, проходящей через точки кривой, определяемые двумя последними приближениями, представляет собой следующее приближение к решению уравнения (4.1) (Рисунок 4.3). |
 |
Рисунок 4.3. Метод хорд
Сходимость, оценка погрешности. Рассмотрим эти вопросы на примере метода Ньютона.
Рассмотрим отображение
,
где 
, - левая часть уравнения (4.1), 
.
Заметим, что неподвижная точка отображения 
, если она есть, является и решением уравнения (4.1). Действительно, пусть существует значение х такое, что 
. Отсюда
,
откуда 
, что и требовалось.
Далее, пусть 
, - произвольные значения х, оценим величину 
. Имеем
Тогда по теореме Лагранжа
где 
, или
где 
.
Отсюда следует утверждение.
Если  или, что то же  , то отображение является сжимающим, последовательность (4.3), им формируемая,является сходящейся и, следовательно, метод касательных в этом случае сходится.
|
Предельная точка х последовательности (4.3) является неподвижной точкой отображения 
и является искомым решением. Погрешность 
, - n -го приближения к решению, как и ранее, описывается соотношением (3.10).
