Различные модели плоскости Лобачевского

10. На проективной плоскости дана овальная линия второго порядка, которая называется абсолютом. Внутренние точки абсолюта называются Л-точками, а хорды абсолюта – Л-прямыми.. Л-точка принадлежит Л-прямой тогда и только тогда, когда проективная точка принадлежит соответствующей хорде абсолюта. Две фигуры F и F* называются конгруэнтными, если существует такая автоморфная коллинеация относительно абсолюта, которая переводит фигуру F в фигуру F'. Показать, что в построенной интерпретации выполняются аксиомы планиметрии Лобачевского, т. е. аксиомы I – IV групп и аксиома параллельности Лобачевского. Эта модель называется интерпретацией Клейна плоскости Лобачевского.

11. Доказать, что взаимно перпендикулярные прямые плоскости Лобачевского в интерпретации Клейна (см. задачу 889) изображаются хордами, принадлежащими полярно сопряженным прямым относи­тельно абсолюта.