1.7.1. Предмет кинематики.
1.7.2. Траектория. Путь. Перемещение.
1.7.3. Способы задания движения точки.
1.7.4. Скорость точки.
1.7.5. Ускорение точки.
1.7.1. Кинематикой называется раздел теоретической механики, изучающий движение тел лишь с геометрической стороны, вне зависимости от факторов, обуславливающих тот или иной характер этого движения. Кинематика целиком основывается на аксиомах и положениях геометрии, но отличается от неё тем, что кроме пространства, проходимого движущимся телом, она рассматривает ещё и время, за которое совершается движение.
Всякое механическое движение материального тела можно наблюдать и изучать лишь по отношению к каким-либо другим телам. Твёрдое тело, по отношению к которому с помощью системы координат определяется положение других тел в разные моменты времени, называется телом отсчёта. Тело отсчёта, связанные с ним система координат и часы называются системой отсчёта. Пространство в механике рассматривается как трёхмерное евклидово пространство. Все измерения в нём производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается один метр.
|
|
Время в механике считается универсальным, т.е. протекающим одинаково во всех системах отсчёта. За единицу времени принимается одна секунда. Время является скалярной непрерывно меняющейся величиной. В задачах кинематики его принимают за независимое переменное. Все другие величины (расстояния, скорости и т.д.) рассматриваются как функции времени.
По характеру рассматриваемых материальных объектов кинематику делят на кинематику точки и кинематику абсолютно твёрдого тела. При движении тела все отдельные его точки в общем случае совершают различные движения. Поэтому кинематику начнём изучать с рассмотрения движения точки, т.е. с кинематики точки.
1.7.2. В процессе своего движения точка последовательно занимает различные положения относительно принятой системы отсчета, причем эти положения непрерывно следуют одно за другим.
Геометрическое место положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией этой точки (рис. 1.7.1.).
Движение точки называется прямолинейным, если ее траектория—прямая линия, и криволинейным, если ее траектория—кривая линия. В зависимости от формы кривой криволинейное движение в свою очередь может быть различным: круговым (когда траектория точки — окружность или ее дуга), эллиптическим (когда траектория точки—эллипс), винтовым (когда траектория точки — винтовая линия) и т. д.
Форма траектории зависит, конечно, от выбора системы отсчета. Например, камень, брошенный вертикально вверх с тележки, движущейся поступательно, прямолинейно и равномерно, будет относительно наблюдателя, находящегося на тележке, двигаться прямолинейно, а относительно наблюдателя, стоящего на той поверхности., по которой движется тележка, - по параболе. Всякая классификация движений носит относительный характер и имеет смысл только тогда, когда эти движения рассматриваются относительно одной и той же системы отсчета.
|
|
Расстояние, пройденное телом вдоль траектории движения, называют пройденным путем (рис. 1.7.1.). Путь обозначают буквой или . Основной единицей пути является 1 метр (м).
Если известны траектория движения тела, его начальное положение и пройденный им путь, то можно определить положение тела в тот или иной момент времени. Если траектория не известна, то положение тела, зная пройденный им путь, определить нельзя, так как этот путь мог быть пройден телом в любом направлении. В этом случае надо знать направление движения тела и расстояние, пройденное в этом направлении.
Пусть в начальный момент времени тело занимало положение А, а в момент времени t положение В (рис. 1.7.1.). Направление от А к В и есть направление движения тела.
Перемещением тела называют направленный отрезок прямой (вектор), соединяющий начальное положение тела с его конечным положением.Вданном случае — это вектор (рис. 1.7.1.).
Перемещение — величина векторная. Она имеет определенное числовое значение и направление. Перемещение – величина относительная.
Следует иметь в виду, что перемещение тела может не совпадать с траекторией, а модуль перемещения с пройденным путем. Например, поезд отправился из Москвы в Санкт-Петербург и вернулся обратно. Расстояние между этими городами 650 км. Перемещение поезда в данном случае равно нулю, а его путь — 1300 км.
Если точка в равные, произвольно взятые, промежутки времени проходит пути одинаковой длины, то движение точки называется равномерным, в противном случае движение точки называется неравномерным или переменным.
Движение точки характеризуется признаками, устанавливаемыми каждой из двух данных выше классификаций. Как прямолинейное, так и криволинейное движение точки может одновременно быть или равномерным, или неравномерным (переменным) движением.
1.7.3. Движение тела считается известным тогда, когда мы имеем возможность определить его положение относительно выбранной системы отсчёта в каждый момент. Рассмотрим два способа задания движения точки: естественный и координатный.
Естественный способ задания движения точки. Задать движение точки естественным способом – это значит: а) задать траекторию АВ движения точки в некоторой системе отсчёта Oxyz; б) на траектории выбрать начало отсчёта О и положительное направление отсчёта расстояний; в) указать закон движения точки М по данной траектории в виде уравнения , где s – расстояние точки М, измеряемое по дуге ОМ, от начала отсчёта в данный момент времени t (рис. 1.7.2.).
Координатный способ задания движения. Положение точки в пространстве трёх измерений можно однозначно определить, задав три её координаты в некоторой системе отсчёта (рис. 1.7.3.).
В качестве системы отсчёта в дальнейшем используется прямоугольная декартова система координат Oxyz, которая условно принимается за неподвижную. Задать движение точки в координатной форме – это значит задать координаты этой точки как функции времени:
(1.7.1.)
Уравнения (1.7.1.) называются уравнениями движения точки. Уравнения движения (1.7.1.) точки в прямоугольных координатах, определяя положение движущейся точки в любой момент времени, определяют тем самым и её траекторию.
1.7.4. Скоростью точки называется вектор, определяющий в каждый данный момент быстроту и направление движения точки.
|
|
Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории (рис. 1.7.4.) так, что в течении малого промежутка времени точка пройдёт путь и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение . Вектором средней скорости называется отношение перемещения точки к промежутку времени :
.
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора . При неограниченном уменьшении средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью :
. (1.7.2.)
Мгновенная скорость , таким образом, есть векторная величина, равная первой производной вектора перемещения движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. По мере уменьшения путь всё больше будет приближаться к , поэтому модуль мгновенной скорости
(1.7.3.)
Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени.
При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется.
1.7.5. В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению, называется ускорением.
Рассмотрим плоское движение, т.е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задаёт скорость точки А в момент времени . За промежуток времени движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от как по модулю, так и по направлению и равную (рис. 1.7.5.). Перенесём вектор в точку А и найдём .
Средним ускорением нераномерного движения в интервале от до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :
.
Мгновенным ускорением материальнойточки в момент времени будет предел среднего ускорения:
. (1.7.4.)
Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.
|
|
Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 1.7.5.) по направлению скорости отложим вектор , по модулю равный . Очевидно, что вектор , равный , определяет изменение скорости за время по модулю: . Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости за время по напрвлению.