Пусть - полная группа несовместных событий, - соответствующие вероятности. Событие А может наступить только вместе с каким-либо из событий , которые мы будем называть гипотезами. Тогда справедлива формула полной вероятности: .
Допустим, что событие А уже наступило. Это изменит вероятности гипотез . Требуется определить условные вероятности этих гипотез , в предположении, что событие А уже наступило.
Найдем
Заменим формулой полной вероятности события:
Аналогично определяется .
Окончательно получаем формулу Байеса или формулу из теоремы гипотез:
.
Задача. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% - средней квалификации. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации – 0,9 и надежность работы прибора, собранного специалистом средней квалификации – 0,8. Взятый наудачу прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.
Событие А: безотказная работа прибора.
Для проверки прибора возможны гипотезы:
В1: прибор собран специалистом высокой квалификации;
В2: прибор собран специалистом средней квалификации.
По условию задачи:
.
Определим вероятности гипотез В1и В2 при условии, что событие А наступило: