Теорема. Если СВ X имеет MX = a, дисперсию DX, то для любого ε>0 справедливо неравенство Чебышева
(1)
Отметим, что неравенство Чебышева можно записать в другой форме:
(2)
В форме (2) устанавливается нижняя граница вероятности события, в форме (1)–верхняя.
Неравенство Чебышева справедливо для любых СВ.
Пример 1. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что отклонение СВ Х от своего математического ожидания будет меньше 3σх.
Пусть ε=3σх в формуле (2), тогда получаем
Основное утверждение ЗБЧ содержится в теореме Чебышева. В ней и других теоремах ЗБЧ используется понятие «сходимости случайных величин по вероятности».
Теорема (ЗБЧ в форме П.Л. Чебышева, 1886 г.). Если случайные величины Х1. Х2,...Хп …независимы и существуют такое число С , что Dхi C, i=1,2,…, то для любого ε справедливо равенство