Допустим, что при изменении х условное математическое ожидание M(Y/X=x) изменяется по линейному закону, т. е. функция регрессии φ(х) = М(Y/X=x) линейная:
Найдем для этого случая сначала выражение для параметров а и b линейной функции регрессии, а затем выражение для корреляционного отношения. При этом договоримся используемые обозначения снабжать индексом «лин», что означает «при условии линейной функции регрессии».
Выражения для параметров а и b и линейной функции регрессии
Обратимся к формуле условной дисперсии. В случае линейной функции регрессии формула принимает вид
(47)
Напомним, в общем случае при изменении х условная дисперсия Dлин(Y/X=x) изменяется. Найдем характеристику разброса «игреков», вызванного влиянием на Yостаточных факторов, она примет вид
(48)
— эта величина при фиксированных значениях параметров а и bявляется постоянной.
Принимая во внимание свойство минимальности дисперсии, значения параметре а и bнаходят из условия
(49)
Окончательный результат такой:
|
|
(50)
(51)
гдеmX=M(X), my=M(Y),
Отметим, что выражение
(52)
называют генеральным корреляционным моментом, а
(53)
генеральным коэффициентом корреляции.
Подставив найденные значения параметров а и bв линейную функцию регрессии Млин (Y/X=x) = a+bx, получим
(54)