Наименование занятия: Кривые второго порядка.
Цель занятия: Научиться составлять кривых 2-го порядка, строить их.
Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Кривые 2-го порядка»
Литература:
- Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
- Дадаян А.А. «Математика», 2004г.
Задание на занятие:
- Составить уравнение окружности с центром О(3; -2) и радиусом r = 5. Построить ее.
- Построить окружность х2 + у2 + 6 х – 4 у – 3 = 0.
- Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2b = 6, а расстояние между фокусами = 8.
- Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 16 х 2 + 25 у 2 = 400.
- Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы, заданной уравнением 16 х 2 – 25 у 2 = 400.
- Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная ось которой 2b = 10, а уравнения асимптот имеют вид: .
- Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у 2 = 8 х.
- Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение ее директрисы х + 3 = 0.
Порядок проведения занятия:
|
|
- Получить допуск к работе
- Выполнить задания
- Ответить на контрольные вопросы.
Содержание отчета:
- Наименование, цель занятия, задание;
- Выполненное задание;
- Ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы для зачета:
- Дать определение кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы), записать их канонические уравнения.
- Что называется эксцентриситетом эллипса, гиперболы? Как его найти?
- Записать уравнение равносторонней гиперболы
ПРИЛОЖЕНИЕ
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.
Пусть центром окружности является точка О (a; b), а расстояние до любой точки М (х;у) окружности равно R. Тогда (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 – каноническое уравнение окружности с центром О (a; b) и радиусом R.
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2 x 2 + 2 y 2 – 8x + 5 y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:
x 2 + y 2 – 4 x + 2,5 y – 2 = 0
x 2 – 4 x + 4 – 4 + y 2 + 2,5 y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16
Отсюда находим координаты центра О (2; -5/4); радиус R = 11/4.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначаются буквами F 1, F 2, расстояние между фокусами – 2 с, сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – 2 а (2 а > 2 c), a – большая полуось; b – малая полуось.
|
|
Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , где a, b и c связаны между собой равенствами: a2 – b2 = c2 (или b2 – a2 = c2).
Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к длине большей оси и называется эксцентриситетом. или .
Т.к. по определению 2 а > 2 c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.
Уравнение эллипса имеет вид: .
Расстояние между фокусами: 2 c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = . По условию 2 а = 2, следовательно, а = 1, b = Искомое уравнение эллипса примет вид: .
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: или , где a, b и c связаны между собой равенством a2 + b2 = c2. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Фокусы обозначаются буквами F 1, F 2, расстояние между фокусами – 2 с, разность расстояний от любой точки гиперболы до фокусов – 2 а (2 а < 2 c). Ось 2 а называется действительной осью гиперболы, ось 2 b – мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси: или . Т.к. по определению 2 а < 2 c, то эксцентриситет гиперболы всегда выражается неправильной дробью, т.е. .
Если длина действительной оси равна длине мнимой оси, т.е. а = b, ε = , то гипербола называется равносторонней.
Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением
Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16.
Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2 a; c 2 = 4 a 2; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.
Тогда - искомое уравнение гиперболы.
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Фокус параболы обозначается буквой F, директриса – d, расстояние от фокуса до директрисы – р.
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид:
y 2 = 2 px или y 2 = -2 px
Уравнения директрис соответственно x = - p /2, x = p /2
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид:
х 2 = 2 pу или х 2 = -2 pу
Уравнения директрис соответственно у = - p /2, у = p /2
Пример. На параболе у 2 = 8 х найти точки, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p /2 = 4; следовательно:
x = 2; y 2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M 1(2; 4), M 2(2; -4).