Согластно предыдущей теореме, достаточно показать, что . По условию теоремы для любого n имеет место неравенство: . Тогда имеем:
.
Осталось показать, что . Для этого рассмотрим ряд . Так как , то признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимости признака сходимости, . Следовательно, . Ч.т.д.
Алгоритм разложения функции f(x) в ряд Маклорена, нужно:
1. найти производные;
2. вычислить значения производных в точке х0=0;
3. написать ряд (3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;
4. найти интервал (-R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой ряд существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.
Замечание: В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремиться к нулю при .
Таблица разложений некоторых элементарных функций в рядэ
Доказательство. Разложить в ряд функцию .
Имеем:
1)
2)
3) применить формулу Маклорена:
, т.е. ряд сходится в интервале
4) для всех ч имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме .
|
|
Таким образом,
Доказательство. Разложить в ряд функцию .
1)
2)
3) применить формулу Маклорена: , полученный ряд сходится на всей числовой прямой, т.е.
4) любая производная функции по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, по теореме имеем
Доказательство. Разложить в ряд функцию .
1)
2)
3) применить формулу Маклорена:
4) , т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале (-1;1).
Замечание: Ряд называется биномиальным.
Доказательство. Разложить в ряд функцию . (методом алгебраического деления)
Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов: 1 1 - x
1 – x 1 + x + x2 + x3 + …
x
x – x2
x2
x2 – x3
x3
……….