Простейшими среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел.
Определение: Множество называется счётным, если элементы множества биективно сопоставлены со множеством натуральных чисел.
Приведём примеры счётных множеств.
Пример 1. Имеем множество всех целых чисел. Установим соответствие между всеми натуральными числами по схеме:
0, -1, 1, -2, 2, -3, 3…,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…,
Вообще, для n ³ 0 сопоставим нечётное число 2n+1, а отрицательному n < 0 – чётное число 2|n|, и тогда получим:
n «2n+1 при n ³ 0; n «2|n| при n < 0.
Пример 2. Множество 2, 4, 8, 16… … счетно.
Действительно, в данном случае имеем множество степеней числа 2. Здесь каждому числу соответствует число n.
|
………….
………….
………….
…………
..... …………
множество рациональных чисел в виде таблицы, в которую занесем несократимые дроби. Обходя таблицу по направлению стрелок, приходим к последовательности
1, 2, , , , 3, 4, , , , , , , ,…..,
позволяющей занумеровать все эти числа