2015-07-04
226
Прежде, чем использовать метод Ньютона, необходимо найти промежутки локализации корней, то есть такие промежутки, где есть только один корень.
Обозначим найденный промежуток локализации [a;b], на этом промежутке должны выполняться два условия:
- Функция y(x) непрерывна на [a;b]
- y(a)*y(b)<0, т.е. функция имеет разные знаки на концах промежутка.
Метод Ньютона является итерационным методом. В любом итерационном методе выбирается начальное приближение к корню 
, затем определяется x1®x2®…®xi®xi+1, причем 
.
Процедура прекращается при условии xi+1 – xi │≤ ε, где ε - точность вычисления корня, некое малое число. В наших лабораторных работах выберем e=0,0005.
Начальное значение определяется по правилу:
Пусть, например, =b
Рис. 10
На рис.10 показан график функции y(x) на промежутке локализации [a;b]. Нас интересует точка пересечения графика функции с осью OX.
Шаг 1. Для нахождения точки x1проведем касательную к y(x) в точке (,y()). x1 – точка пересечения касательной с осью OX.
Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK.
|
|
|
Сторона 
, 
, сторона 
Тогда 
Шаг 2. Необходимо сравнить и x1. Если 
, то будем считать, что корень найден и равен x1, если 
, то необходимо провести касательную к y(x) в точке (x1,y(x1)) и вычислить 
.
. Шаг i. Вычислять xi+1по формуле: 
До тех пор, пока 
станет меньше e.
