1. Различные уравнения плоскости.
а). Уравнение плоскости, заданной точкой Мо и вектором нормали.
При аксиоматическом построении геометрии плоскость считается
основным неопределяемым понятием, основные свойства которой определяются аксиомами и их свойствами.
В аналитической геометрии основным методом изучения свойств геометрических фигур является метод координат, основной особенностью которого является возможность каждой геометрической фигуре поставить в соответствие уравнение или неравенство и изучать свойство исследуемой фигуры на основе следствий, вытекающих из анализа полученного уравнения.
Определение. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости. (Рис.9)
Поставим перед собой задачу получить уравнение плоскости в пространстве, заданной точкой и вектором нормали.
Введём пространстве прямоугольную систему координат и рассмотрим плоскость, заданную точкой Мо(хо,уо) и вектором перпендикулярным плоскости α. Приведённые данные определяют положение плоскости α в пространстве единственным образом.
|
|
Пусть точка М(x;y;z) − произвольная точка плоскости α. Очевидно, что точка М(x,y,z) тогда и только тогда, когда векторы и взаимно перпендикулярны. => . Координаты вектора и вектора () известны, =>
(6)
Уравнение (6) называется уравнением плоскости, заданной точкой Мо(хо,уо) и вектором нормали .
б). Условие параллельности вектора плоскости.
Теорема I. Вектор параллелен плоскости α < =>
.
Доказательство.
1. Необходимость.
Пусть вектор параллелен плоскости α. (Рис.7) Тогда
и перпендикулярны =>
=> (7)
2. Достаточность.
|
Пусть дан вектор даны вектор и плоскость α своим уравнением . Кроме того пусть для координат вектора даны вектор выполнено условие . Возьмем в плоскости α некоторую точку А(хА;уА;zА) принадлежащую плоскости α. Тогда координаты точки А удовлетворяют уравнению плоскости α, то есть
. (8)
Отложим от точки А вектор, равный вектору и пусть его концом будет точка В(xB;yB;zB). Очевидно, что для координат вектора справедливы соотношения: р1= xB−xA; : р2= yB−yA; : р3= zB−zA. Подставив эти выражения для координат вектора даны вектор в (9), получаем . (9)
Сложив уравнение (8) с уравнением (9), получим
=>
Точка В принадлежит плоскости α, то есть вектор ║ α. Ч.т.д.