Задача о минимизации функции

Имеем функцию

F(x₁, x₂, x₃)=a₁x₁² + a₁x₂² + a₁x₃² (4.18)

При этом х₁+х₂+х₃=с; х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0. (4.19)

а₁+а₂+а₃ – известные положительные величины.

Допустим, что С – ресурсы, которые надо распределить таким образом, чтобы функция (4.18) была минимальной. Иными словами, надо найти

Х_i=f_i(c, a₁, a₂, a₃); i=1, 2, 3, чтобы F=F_мин.

Решение.

1. Введем дополнительные обозначения:

х₁=с₁; х₁+х₂=с₂; х₁+х₂+х₃=с₃ (4.20)

2. Разделим ресурсы с на две части: х₃ и с — х₃ =с₂

запишем так называемое рекуррентное соотношение:

(4.21)

которое можно трактовать таким образом: найти такую функцию от С, которая в пределах 0 ≤ х₃ ≤ С достигала бы минимума при выделении части х₃ ресурсов для третьей составляющей функции F и части (с  х₃) ресурсов для оставшихся двух составляющих.

Примечание. В математике рекуррентной формулой называют формулу, выражающую каждый член последовательности через предыдущие члены. Здесь с₂=сх₃ сумма предыдущих членов.

3. Разделим оставшуюся после выделения х₃ часть ресурса с₂ = с—х₃ на две части: х₂ и (с₂х₂).

Тогда функция, достигающая минимума в пределах 0≤х₂≤с₂ имеет выражение

(4.22)

4. Оставшаяся часть ресурсов — это ресурсы, приходящиеся на первую составляющую:

f₁(c₁)=f₁(x₁)=f₁(c₂x₂)=a₁c₁²=a₁(c₂x₂)². (4.23)

теперь эти формулы - (4.21), (4.22), (4.23) - путем подстановок надо «пройти» дважды: снизу вверх (от конца к началу), подставляя последующие формулы в предыдущие, при этом находят условно оптимальные значения х_i₁, выраженные через с_i, и сверху вниз (от начала к концу) — при этом определяются строго оптимальные значения х_i_опт=f_i (с, а₁, а₂, а₃).

5. Подставим (4.23) в (4.22) и найдем х₂ =f₂(с₂, a₁, а₂), минимизирующее функциюf₂(с₂). Имеем

f₂(c₂)=min [a₂x₂²+a₁(c₂x₂)²] (4.24)

^0≤^x₂^≤^C₂

Берем производную от выражения в квадратных скобках и приравняем ее кнулю:

[a₂x₂²+a₁(c₂+x₂)²]' =2a₂x₂2a₁c₂+2a₁x₂=0.

Тогда

. (4.25)

(Поскольку вторая производная, 2(а₁+а₂), положительна, значение (4.25) сообщает функции (4.24) минимум).

Подставляя (4.25) в (4.24), получаем

. (4.26)

После подстановки (4.26) в (4.21) возьмем производную по х₃ от выражения в квадратных скобках и. приравнивая ее к нулю, определим оптимальное (уже не условное) значение х_{3 опт}:

;