Гипергеометрическое распределение

Вероятность появления события ровно m раз в n независимых повторных испытаниях вычисляется по формулам Бернулли и Пуассона. Как вычисляются вероятности появления события ровно m раз в n зависимых повторных испытаниях?

Пример 2. В урне N шаров, среди которых K белых и (N-K) черных. Без возвращения извлечены n шаров. Какова вероятность того, что в выборке из n шаров окажется m белых (и соответственно (n-m) черных) шаров. Изобразим ситуацию на схеме:

Случайная величина Х = m - число белых шаров в выборке объемом в n шаров. Число всех возможных случаев отбора n шаров из N равно числу сочетаний из N по n (С ), а число случаев отбора m белых шаров из имеющихся K белых шаров (и значит, ( n-m) черных шаров из (N-K) имеющихся черных) равно произведению:

С ∙ С

Отбор каждого из m белых шаров может сочетаться с отбором любого из (n-m) черных.

Необходимо определить вероятность того, что в выборке из n шаров окажется ровно m белых шаров. По формуле для вероятности события в классической модели, вероятность получения в выборке m белых шаров (то есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение m) равна

P_m,N = (10)

Где С - общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов, С С - число исходов благоприятствующих интересующему нас событию, m£n, если n£k и m£k, если k < n.

Итак, вероятность появления интересующего нас события ровно m раз в n зависимых испытаниях вычисляется по формуле (10), которая задает значения гипергеометрического распределения для m = 0,1,2,..,n. - распределения вероятностей значений случайной величины в n повторных зависимых испытаниях.

Если по формуле (10) вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения, называемый гипергеометрическим законом распределения.

Таблица 2. Гипергеометрический закон распределения

M					...	n
P(X=m)					...

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины m, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:

M(m) = n ∙ q (11)

D(m) = n ∙ q (1 - q) ∙ (1 - ), (12)

где q - доля единиц с интересующим нас признаком в совокупности N, т.е. q = , а

(1- ) - называется поправкой для бесповторной выборки.