Теорема. Якщо функції f(x) i j(x) неперервні на [a, b] і мають похідні в інтервалі (a, b) і j¢(х)¹0 для х є (a, b), то існує точка , така, що має місце співвідношення:
(1)
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
,
де число підберемо таким, щоб функція задовольняла теорему Ролля.
Із неперервності на функцій і випливає, що теж неперервна. Крім того, із диференційовності і в інтервалі випливає диференційовність . Залишилось знайти число таким, щоб , тобто
. (2)
Отже, згідно з теоремою Ролля існує точка , така що , тобто
. (3)
Із рівностей (2) і (3) отримуємо формулу Коші (1).