Означення. Пряма (l) називається асимптотою графіка функції (кривої (L)), якщо відстань MN від змінної точки кривої (MÎL) до прямої прямує до нуля, якщо точка М віддаляється в нескінченність, тобто (див. рис. 47,48)
Y Y
M
M N
(L) N (L)
(l)
(l) X X
рис.47 рис.48
Асимптоти розрізняють:
1) вертикальні;
2) похилі (окремий їх випадок – горизонтальні).
1. Вертикальні асимптоти. Будемо говорити, що пряма х=а є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x), якщо хоча б одна з односторонніх границь функції дорівнює нескінченості при х®а±0, тобто
, або .
Y
M N
x x=a X
2. Похилі асимптоти. Знаходяться у вигляді y=kx+b, де
зокрема, якщо k=0, то отримуємо горизонтальну асимптоту y=b, де
Приклади. Знайти асимптоти кривих:
1. . 2. .
Розв’язання
1. Із рівняння . Функція існує для .
Вертикальних асимптот функція немає оскільки при і .
Горизонтальних асимптот теж немає, бо .
Знайдемо похилі асимптоти за формулою ,
де .
Знайдемо
;
Знайдемо вільний член
.
Отже, отримали відомі рівняння асимптот гіперболи
.
2. . Дана функція визначена для , де
Оскільки
,
то пряма є вертикальною асимптотою кривої.
Горизонтальних асимптот крива немає, оскільки
.
Знаходимо похилі асимптоти при і при .
.
.
Отже, існує права похила асимптота .
Знайдемо похилу асимптоту при .
оскільки , то - введемо під корінь
.
.
Отже, - ліва похіила асимптота.
На рисунку зображені асимптоти та графік кривої.