Задача 11

1. Полотняне шатро об’єму має форму прямого кругового конуса. Яким повино бути відношення висоти конуса до діаметра, щоб на виготовлення шатра пішла найменша кількість полотна?

2. Із полоси жерсті шириною 11 см необхідно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний перетин якого має форму рівнобедреної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 7 см. Якою повинна бути ширина жолоба зверху, щоб він вміщував найбільшу кількість води?

3. Із полоси жерсті шириною 20 см необхідно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний перетин якого має форму рівнобедреної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 10 см. Яким повинен бути кут між стінками жолоба і дном, щоб він вміщував найбільшу кількість води?

4. Поперечний переріз відкритого канала має форму рівнобдренної трапеції. При якому нахилі боків “мокрий периметр” перетину буде найменшим, якщо площа “живого перетину” води в каналі дорівнює S, а рівень води дорівнює h?

5. Знайти відношення радіуса циліндра до його висоти, при якому циліндр заданого об’єму V має найменшу площу повної поверхні.

6. Відкрита посудина, що має форму циліндра, який закінчується знизу півсферою, вміщує 18 л води. Знайти розміри посудини при яких на її виготовлення піде найменша кількість матеріалу.

7. Добовий розхід при плаванні судна складається з двох частин: сталої, що дорівнює а грошових одиниць і змінної, що зростає пропорціонально кубові швидкості. При якій швидкості V плавання судна, буде найбільш економним?

8. Із листового заліза виготовлено відкритий бак циліндричної форми об’єму з найменшими затратами матеріалу. Які розміри бака?

9. Енергія, яка витрачається за одиницю часу на рух парохода, пропорціональна кубові його швидкості, яку розвиває двигун в стоячій воді. Знайти найбільш економну швидкість руху парохода, якщо необхідно пройти задану відстань S проти течії, швидкість якої дорівнює 6 ^км/_год.

10. В трикутнику одна сторона а, а протилежний їй кут a. Визначити два інші кути так, щоб площа його була найбільшою.

11. Одна із сторін трикутника дорівнює а, а його периметр 2р. Визначити дві інші сторони за умови, щоб площа його була найбільшою.

12. На сторінці книги друкований текст (разом з проміжками між рядками) повинен займати 216 см². Верхні і нижні поля повинні бути по 3 см, праве і ліве поля по 2 см. Якими повинні бути розміри сторінки для того, щоб її площа була найменшою?

13. Визначити максимальну площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює l.

14. Всі вершини правильної трикутної призми належать сфері радіуса R. Якою повинна бути висота призми, щоб її об’єм був найбільшим? Знайти цей об’єм.

15. Прямокутна площадка, яка стикується однією із сторін з довгою кам’яною стіною, з трьох сторін огорожена залізною решіткою. Якою повинна бути довжина сторін площадки, щоб вона мала найбільшу площу, якщо є 200 м решітки?

16. Консервна коробка об’єму V повинна мати циліндричну форму з дном і покришкою. Яким повинно бути відношення діаметра циліндра до висоти, щоб на виготовлення коробки пішла найменша кількість матеріалів.

17. Прямокутник вписано в прямокутний трикутник так, що один із кутів прямокутника співпадає з прямим кутом трикутника. Катети трикутника дорівнюють 4 і 8 см. Якими повинні бути розміри прямокутника, щоб площа його була найбільшою?

18. Знайти радіус основи і висоту конуса найменшого об’єму, описаного навколо кулі радіуса R.

19. Вікно має форму прямокутника, який завершується півкругом. Периметр вікна дорівнює а. При яких розмірах сторін прямокутника вікно буде пропускати найбільшу кількість світла?

20. Необхідно виготовити відкритий циліндричний бак заданого об’єму V. Вартість квадратного метра матеріалу, що йде на виготовлення дна бака, дорівнює р грошових одиниць, а стінок– q грошових одиниць. Якими повинні бути радіус дна і висота бака, щоб вартість затрат на матеріали для його виготовлення була найменшою?

21. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює . Якими повинні бути катети, щоб периметр трикутника був найбільшим?

22. Прямокутний трикутник, обертаючись навколо одного з його катетів, утворює прямий конус. Знайти об’єм найбільшого з них, якщо гіпотенуза дорівнює 9 см.

23. Вертикальна цистерна об’єма V має форму циліндра, який завершується півкулею. При яких лінійних розмірах на виготовлення такої цистерни піде найменша кількість матеріалу.

24. Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса з найменшою бічною поверхнею, описаного навколо кулі радіуса R.

25. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 2р. Якими повинні бути його сторони, щоб об’єм тіла, утвореного обертанням цього трикутника навколо основи, був найбільшим?

26. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m. При якій довжині сторони трикутника основи об’єм піраміди буде максимальним. Знайти цей об’єм.

27. Дані точки А(0,3) і В(4,5). На вісі ОХ знайти таку точку М, щоб відстань S=AM+MB була найбільшою.

28. В кулю радіуса R виписати циліндр, який має найбільшу бічну поверхню.

29. Знайти висоту циліндра максимального об’єму, вписаного в даний прямий круговий конус.

30. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m. При якій довжині сторони трикутника основи об’єм піраміди максимальний? Знайти цей об’єм.