Доказательство

Покажем сначала, что формула имеет смысл, т.е.что . (От противного). Пусть , тогда, по теореме Ролля, , что противоречит третьему условию: для всех х из . Следовательно, .

Для доказательства введем в рассмотрение на отрезке следующую вспомогательную функцию: .

1) F (x) непрерывна на отрезке , как разность двух непрерывных функций f (x) и ;

2) F (x) дифференцируема на интервале : ;

3) F (а) = F (b), так как

и .

Следовательно, из 1) – 3) следует, что функция F (x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля, тогда, по теореме Ролля, , т.е.

, отсюда . Что и требовалось доказать.