Краткая запись

1 2 3 4 5

, (4)

. (5)

Опр. Ф. , которая при подстановке в (1) обращает их в тождества, наз. общим интегралом системы (1).

Точное задание начальных условий

(6)

однозначно определяет решение в любой момент времени t:

. (7)

Решение (1) можно представить как линию в n-мерном пространстве, образованном переменными . Это пространство наз. фазовым пространством. Каждому состоянию этой системы соответствует точка в этом пространстве. Траектория изображающей точки наз. фазовой траекторией.

Автономной системой наз. система, поведение которой определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений

, (8)

т.е. системой (1), где правые части не зависят явно от времени.

Всякая система может быть формально сведена к автономной. Для этого систему (1) записывают в виде

(9)

системы порядка.

Ф. наз. векторным полем фазовой скорости.

Система (1) осуществляет отображение

, (10)

т.е. произвольной точке фазового пространства ставится в соответствие определенная точка по правилу .

Оператор наз. оператором эволюции, фазовым потоком, оператором сдвига.

Действие

Рис.1

Св-во: Если система является гамильтоновой, то по теореме Лиувилля фазовый поток сохраняет фазовый объем

. (11)

Фазовые траектории нигде не пересекаются в силу теоремы о единственности решения, кроме особых точек, составляющих множество нулевой меры. Поэтому с точностью до этого множества можно сказать, что оператор осуществляет взаимно однозначное отображение фазового пространства в себя.

Раздел. Отображения. Динамические системы с дискретным временем.

Пусть - оператор сдвига на время

. (12)

Тогда для гамильтоновой системы можно записать

. (13)

При таком описании состояние динамической системы - динамической системы с дискретным временем -определяется лишь в определенные дискретные моменты времени. Иногда такое описание позволяет существенно упростить задачу. В общем случае действие оператора определяется только численно. Однако, если эволюция системы происходит вследствие кратковременных толчков, то используя свойства - функции Дирака, вид отображения можно найти аналитически. В общем случае отображение может быть записано так: