Основні теоретичні поняття теми

Портфель, який формує інвестор, складається з декількох активів, кожний з яких має свою очікувану дохідність.

Очікувана дохідність портфеля цінних паперів визначається як середньозважена очікувана дохідність активів, які входять до складу портфеля, а саме:

,

де: E(r_p) – очікувана дохідність портфеля; E(r₁); E(r₂); E(r_n) – очікувана дохідність відповідно першого, другого і n-го активів; W₁; W₂; W_n – питома вага у портфелі першого, другого і n-го активів.

Формула для визначення очікуваної дохідності портфеля може бути записана у більш компактному вигляді:

,

Питома вага активу у портфелі розраховується як відношення його вартості до вартості всього портфелю або:

,

Сума всіх питомих ваг активів, які входять у склад портфеля, завжди дорівнює одиниці.

Запишемо формулу визначення очікуваної дохідності активу у загальному вигляді:

,

де: E(r) – очікувана дохідність активу; E(r_i) – очікувана дохідність активу в і-тому випадку; _і – імовірність отримання дохідності в і-тому випадку.

Коли інвестор купує актив, він орієнтується не тільки на значення його очікуваної дохідності, але й на рівень його ризику. Очікувана дохідність виступає як певна величина, яку очікує отримати інвестор, наприклад 15 %. Однак на практиці дохідність, яку отримає інвестор може як дорівнювати, так і бути відмінною від 15%. Таким чином, ризик інвестора полягає у тому, що він може отримати результат, який відрізняється від очікуваної дохідності. Якщо фактична дохідність буде більше 15%, то це плюс для інвестора. На практиці в якості ступеню ризику використовують показники дисперсії і стандартного відхилення. Вони показують, в якій мірі і з якою імовірністю фактична дохідність активу може відрізнятися від величини його очікуваної дохідності, тобто середньої дохідності. Ці параметри враховують відхилення як у бік збільшення, так і зменшення дохідності порівняно з очікуваним значенням.

Дисперсія визначається відхиленням можливих норм дохідності наступним чином:

,

де: – дисперсія дохідності активу; n – кількість періодів спостереження; – середня дохідність активу; вона визначається як середня арифметична дохідностей активів за періоди спостереження, а саме:

,

де: r_i – дохідність активу в і-тому періоді.

Стандартне відхилення визначається як квадратний корінь з дисперсії

.

Очікуваний ризик портфеля – сполучення стандартних відхилень (дисперсій) активів, які входять до його складу. Однак на відміну від очікуваної дохідності портфеля його ризик не обов’язково є середньозваженою величиною стандартних відхилень (дисперсій) дохідностей активів. Вся справа в тому, що різні активи можуть по-різному реагувати на зміни кон’юнктури ринку. У результаті стандартні відхилення (дисперсії) дохідності різних активів у ряді випадків будуть гасити один одного, що призведе до зниження ризику портфеля. Ризик портфеля залежить від того, у якому напрямку змінюються дохідності активів при зміні кон’юнктури ринку і в якій мірі.

Для визначення ступеню взаємозв’язку і напрямку зміни дохідностей використовують показник коваріації, який показує до якого ступеню дві змінні разом змінюються у часі. Аналіз портфеля зазвичай звертає увагу на коваріації норм дохідності. Позитивна коваріація означає, що норми дохідності двох інвестицій мають тенденцію змінюватись в одному напрямку за певний час. Від'ємна коваріація показує, що норми дохідності двох інвестицій мають тенденцію змінюватись у різних напрямках за певний період часу.

Для двох активів (А і В) коваріація норм дохідності визначається у такий спосіб:

,

де: COV – коваріація дохідності активів А і В; – середня дохідність активу А за n періодів; – середня дохідність активу В за n періодів; r_A – дохідність активу А в і-тому періоді; r_B – дохідність активу В в і-тому періоді; n – кількість періодів, за які реєструвалась дохідність активів А і В.

Щоб обчислити кореляцію між двома акціями або іншими інвестиціями потрібно обчислити наступні математичні значення:

1) дисперсію для доходу кожного активу,

2) стандартне відхилення для доходу кожного активу;

3) коваріацію між двома доходами цих активів.

Іншим показником ступеню взаємозв’язку змін дохідностей двох активів є коефіцієнт кореляції. Він розраховується з формулою

де: CORR_A,B – коефіцієнт кореляції дохідності активів А і В; СОV_А,В – коваріація дохідності активів А і В; – стандартне відхилення дохідності активу А; – стандартне відхилення активу В.

Коефіцієнт кореляції може змінюватися у межах від -1 до +1. Якщо це означає, що між ними існує позитивне лінійне відношення, то доходи двох акцій змінюються разом лінійним способом. Якщо це означає негативне лінійне відхилення між двома серіями доходу, норма дохідності за одним активом буде вище середнього значення, і за іншим активом буде нижче від середнього значення на певну величину. При нульовому значенні коефіцієнта кореляція між дохідностями активів відсутня.

Ризик портфеля, який складається з двох активів, розраховується за формулою

,

де: – ризик (дисперсія) портфеля; W_A – питома вага активу А у портфелі; W_В – питома вага активу В у портфелі; COV_A,B – коваріація дохідності активів А і В.

Оскільки , то формулу можна переписати, скориставшись коефіцієнтом кореляції, а саме:

.

Коли кореляція +1, то змінні знаходяться в прямій функціональній залежності. Графічно вона являє собою пряму лінію, як показано на рис. 1,

тобто для кожної події Рис. 1. Кореляція дохідності +1

(зміни у кон’юнктурі ринку) дохідності двох активів будуть мати одна спільну точку на прямій, що піднімається. Для такого випадку вищезазначена формула перетворюється у формулу квадрату суми, оскільки CORR_A,B=1

або

.

Таким чином, якщо дохідності активів мають кореляцію +1, то ризик портфеля – це середньозважений ризик активів, які входять до його складу. Об’єднання таких активів в один портфель не дозволяє скористатися можливостями диверсифікації для зниження ризику, оскільки при зміні кон’юнктури їх дохідності будуть змінюватися в прямій залежності в одному й тому самому напрямку.

Коли кореляція –1, то змінні знаходяться в зворотній функціональній залежності.

Для такого випадку використовується формула:

або

.

Об’єднання у портфель активів з кореляцією –1 дозволяє зменшити його ризик порівняно з ризиком кожного окремого активу. При цьому очікувана дохідність портфеля залишиться незмінною і буде залежати від очікуваної дохідності кожного активу і його питомої ваги у портфелі. Щоб сформувати такий портфель, необхідно знайти питому вагу активу А і В відповідно. Для цього визначимо W_A і W_B. =0.

Оскільки

W_A = 1 – W_B,

то

.

Звідси

.

Кореляція між дохідностями двох фінансових інструментів у портфелі може змінюватися від –1 до +1. На рис. 7 всі можливі комбінації портфелів, які складаються з двох активів з кореляцією –1, розташовуються на прямих АС і СВ. Всі комбінації портфелів для кореляції +1 – на прямій АВ. Комбінації портфелів для інших значень кореляції дохідності розміщуються всередині трикутника АВС. Таким чином, простір трикутника АВС являє собою всі можливі сполучення ризику і дохідності портфелів, які складаються з двох активів, у межах кореляції їх дохідності від –1 до +1.

У той самий час на практиці переважна частина активів має кореляцію відмінну від –1 і +1, і більшість активів мають позитивну кореляцію. Якщо побудувати графік для портфелів, які складаються з активів А і В при меншій кореляції, ніж +1, то він набуде опуклої форми, як показано на рис. 8.

Чим менше кореляція між дохідністю активів, тим більш опуклим буде графік. На рис. 9 лінія один являє собою меншу кореляцію дохідності активів А і В порівняно з лінією 2. Як видно з рисунку, із зменшенням кореляції дохідності активів їх привабливість для формування портфелі зростає, оскільки інвестор може отримати той самий рівень очікуваної дохідності за меншого ризику. Так, портфель Р₁ пропонує те саме значення очікуваної дохідності r₁, що і Р₂, однак його ризик менше і дорівнює , а другого портфеля – .

Як показано на рис.10, якщо активи мають кореляцію менше +1, то інвестор може сформувати будь-який портфель, який би розташовувався на кривій ADB. Однак раціональний інвестор зупиниться тільки на верхній частині кривої (відрізок DB), оскільки саме тут розташовані портфелі, які приносять більш високий ступінь очікуваної дохідності за того самого ризику порівняно з портфелями на відрізку DA.. якщо порівнювати портфелі Р₁ і Р₂, то вони мають однаковий рівень ризику, однак очікувана дохідність портфеля Р₂ більше очікуваної дохідності портфеля Р₁.

Рис.10. Варіанти портфелів з двох активів з кореляцією

дохідності менше +1

Якщо один портфель (актив) має більш високий рівень дохідності за того самого ризику або більш низький ризик за тої самої дохідності, ніж інші портфелі (активи), то його називають домінуючим портфелем (активом). На рис.10 домінуючим портфелем буде портфель Р₂, оскільки і портфель Р₁, і Р₂ мають однаковий ризик (), але дохідність портфеля Р₂ (r₂) більше дохідності портфеля Р₁ (r₁). Аналогічно портфель Р₂ буде домінуючим відносно портфеля Р₃, оскільки обидва вони мають однакову дохідність (r₁), але ризик портфеля Р₂ () менший за ризик портфеля Р₃ (). У той самий час, якщо порівняти портфелі Р₁ і Р₄, то не можна сказати, що який із них є домінуючим відносно іншого, оскільки вони мають різні значення як очікуваної дохідності, так і ризику. Портфель Р₄ має як більш високу очікувану дохідність, так і більш високий ризик порівняно з портфелем Р₁.

Раціональний інвестор завжди зробить вибір на користь домінуючого портфеля, оскільки це найкращий вибір з точки зору дохідності і ризику для всіх можливих альтернативних варіантів інших портфелів.

Якщо інвестор формує портфель з двох активів, А і В, як показано на рис.10, то у точці D він зможе отримати для сполучення цих активів портфель з найменшим рівнем ризику. Щоб його сформувати, необхідно знайти питому вагу активу А і питому вагу активу В. Це можна зробити у такий спосіб.

W_A = 1 – W_B

Звідси

і .

У випадку коли два активи не мають кореляції, то графічно їх неможливо представити з тим або іншим ступенем наближення у вигляді прямої лінії. У цьому випадку коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тобто формула

набуває вигляду

.

Таким чином, можна зробити висновок, що об’єднання у портфель активів з некорельованими дохідностями дозволяє скористатися перевагами диверсифікації для зменшення ризику.

Для того, щоб краще уявити ідею та ефект диверсифікації портфеля за різної кореляції дохідностей активів, вище розглядався ризик портфеля, який складався з двох активів. З цього можна зробити наступні загальні висновки:

1. Якщо портфель об’єднує активи з кореляцією +1, то досягається тільки усереднення, а не зменшення ризику.

2. Якщо портфель об’єднує активи з кореляцією менше +1, то ризик зменшується. Зменшення ризику досягається зі збереженням незмінного значення очікуваної дохідності.

3. Із зменшенням кореляції дохідності активів зменшується ризик портфеля.

4. Якщо у портфель об’єднуються активи з кореляцією –1, то можна сформувати портфель без ризику.

5. У формуванні портфеля необхідно намагатися об’єднувати у нього активи з найменшою кореляцією.

Ці висновки вірні і для портфеля, який об’єднує велику кількість активів.

Ризик портфеля, який складається з декількох активів розраховується за формулою

,

де: – ризик портфеля; W_i – питома вага і-того активу в портфелі; W_j – питома вага j- того активу в портфелі; Cov_i,j – коваріація дохідності і-того та j- того активів.

У формулі ризику портфеля, який складається з декількох активів стоїть знак подвійної суми . Він означає, що розкриваючи формулу, потрібно спочатку взяти значення і = 1 і помножити на нього всі значення j від 1 до n, а потім повторити цю операцію, але вже для і = 2 і т.д. У підсумку буде n доданків.

Як вже зазначалося вище, для портфеля, який складається з двох активів з кореляцією дохідності +1, ризик є середньозваженою величиною цих активів. Тому у цьому випадку не спостерігається зменшення ризику, а відбувається тільки його усереднення. Такий принцип зберігається і для портфеля, який нараховує багато активів з кореляцією дохідності +1. Якщо портфель складається з активів із кореляцією, що дорівнює нулю, то ризик портфеля розраховується за формулою

.

Відношення інвестора до очікуваної дохідності й ризику можна подати у вигляді графіка кривої байдужості, де на осі абсцис відкладається міра ризику (), а на осі ординат – розмір винагороди, мірою якого є очікувана дохідність.

Графік кривих байдужості гіпотетичного інвестора наведено на рис.11.

Кожна крива байдужості включає всі комбінації портфелів, які забезпечують заданий рівень бажань інвестора. Наприклад, інвестор вважатиме портфелі А і В рівноцінними, незважаючи на те, що вони мають різну очікувану дохідність і стандартні відхилення, оскільки обидва ці портфелі лежать на одній кривій байдужості – І₂.

Як видно з графіка на рис.11 портфель В є ризикованішим (стандартне відхилення у нього 20% проти 10% у портфеля А), проте він має вищу очікувану дохідність (12% проти 8% у портфеля А).

Рис.11. Криві байдужості інвестора

Звідси випливає перша важлива властивість кривих байдужості: всі портфелі, що лежать на одній заданій кривій байдужості, є рівноцінними для інвестора. Недоліком цієї властивості є те, що криві байдужості не можуть перетинатися.

Другою важливою властивістю кривих байдужості є те, що інвестор вважатиме будь-який портфель, що лежить на кривій байдужості, розташований вище і лівіше, привабливішим, ніж будь-який портфель, що лежить на кривій на кривій байдужості, розташованій нижче і правіше.

Будь-який інвестор має теоретично нескінчену кількість кривих байдужості. Це означає, що як би не були розташовані дві криві байдужості на графіку, завжди є можливість побудови третьої кривої, що лежатиме між ними, чи вище, чи нижче. Інвестор, який робить вибір між двома ідентичними у всьому портфелями, вибирає портфель з більшою очікуваною дохідністю.

Як зазначалося вище, у портфельній теорії Г. Марковіца робляться припущення про ненасичуваність інвестора і про запобігання інвестором ризику.

Припущення про ненасичуваність означає, що інвестор завжди віддає перевагу більш високому рівню добробуту. Наприклад, коли є два портфелі А і Е з однаковим стандартним відхиленням, то інвестор вибере портфель Е з більшою очікуваною дохідністю (рис.11).

Припущення про запобігання інвестором ризику означає, що він обирає менш ризикований портфель. Якщо потрібно обирати між портфелями, які мають однаковий рівень очікуваної дохідності (на рис.11 портфелі D і F), та водночас мають різні стандартні відхилення як міри ризикованості портфелів, то він обирає портфель з нижчим стандартним відхиленням – портфель F.

Незважаючи на припущення, що всі інвестори уникають ризику, міра уникнення у них неоднакова. Наприклад, інвестори, які уникають ризику більшою мірою, матимуть більш крутіший нахил кривих байдужості, ніж ті, які уникають меншою мірою.

Припущення, що інвестор уникає ризику, є цілком резонним, але не є необхідним. Замість цього можна зробити припущення про азартність і нейтральність щодо ризику.

Якщо інвестор азартний і зіткнеться з “чесною грою”, то він вважатиме за краще взяти у ній участь, оскільки він отримує більше задоволення від виграшу, ніж розчарування від програшу. При виборі двох інвестиційних портфелів азартний інвестор за однакової очікуваної дохідності обере той, що має більше стандартне відхилення.

Є підстави передбачити, що крива байдужості азартного інвестора (рис.12) матиме негативний нахил, тобто він віддасть перевагу портфелю, який знаходиться вище і правіше від інших (точка В), що пояснюється бажанням отримати максимальний дохід за максимального ризику.

Рис.12. Графік кривих байдужості азартного інвестора

Випадок нейтральності до ризику знаходиться між випадками уникнення ризику та азартності. Нейтральному до ризику інвестору все одно, брати участь у “чесній грі” чи ні. Це означає, що ризик не є важливим для інвестора при оцінці портфеля. Крива байдужості такого інвестора буде горизонтальною лінією (рис.13). Такий інвестор вважає за краще обрати портфелі, розташовані на кривих байдужості більш високо, тобто мають максимальну очікувану дохідність (точка В).

Рис. 13. Графік кривих байдужості інвестора, нейтрального до ризику

Хоча побудова кривих байдужості значно звужує можливе поле формування інвестиційного портфеля, вона не дає можливості обрати найбільш ефективний його варіант, оскільки існує множина таких варіантів, що відповідають цілям конкретного інвестора. Наблизитися до вирішення цієї задачі дозволяє сформульована Г. Марковіцем “теорема про ефективну множину”, яка фіксує модель поведінки інвестора у процесі формування портфеля наступним чином: “Інвестор обирає свій оптимальний варіант портфеля з їх множини, кожний з яких:

1) забезпечує максимальне значення рівня очікуваної дохідності за будь-якого певного рівня ризику;

2) забезпечує мінімальне значення рівня ризику за будь-якого певного рівня дохідності.”

Сукупність варіантів портфелів, які забезпечують досягнення заданих показників, характеризується термінами “ефективна множина” або “границя ефективності портфелів”.

Якщо об’єднати у портфель деяку кількість активів, кореляція дохідності яких знаходиться у діапазоні від –1 до +1, то в залежності від їх питомих ваг, можна побудувати множину портфелів з різними параметрами ризику і дохідності, які розташовані у рамках фігури АВСDE, як показано на рис.14.

Раціональний інвестор буде намагатися мінімізувати свій ризик і збільшити свою дохідність. Тому всім можливим портфелям, які представлені на рис.14, він віддасть перевагу тільки тим з них, які розташовані на відрізку ВС, оскільки вони є домінуючими відносно портфелів з тим самим рівнем ризику або з такою самою дохідністю. Набір портфелів на відрізку ВС називають ефективною множиною. Ефективна множина портфелів – це множина, яка складається з домінуючих портфелів. Множину портфелів на відрізку ВС називають границею ефективності портфелів.

Рис. 14. Границя ефективності портфелів

Щоб визначити границю ефективності портфелів, необхідно розрахувати питомі ваги активів, які входять до складу портфеля, за яких мінімізується значення стандартного відхилення для кожного рівня дохідності, тобто

min ,

за умови, що

і

Техніка створення ефективних портфелів Марковіца з великих груп цінних паперів вимагає великої кількості обчислень. Для портфеля з цінних паперів є 12 окремих обчислень коваріацій. Таким чином, для портфеля з 50-ти цінних паперів є 1225 коваріацій, що мають бути обчислені. Для 100 цінних паперів є 4950 коваріацій для обчислення.

Ці обчислення проводяться за допомогою комп’ютера. Крім того, щоб визначити портфель, який мінімізує ризик для кожного рівня доходу, необхідний математичний метод, який називається квадратичним програмуванням.

Тепер розглянемо портфель, який складається з безризикового і ризикового активів. Як було зазначено вище, ризик портфелі, який складається з двох активів, визначається за формулою

.

Оскільки один актив є безризиковим, наприклад актив В, а інший ризиковим (актив А), то і . Тому формула для цього випадку набуває вигляду:

і .

Таким чином, ризик такого портфеля дорівнює добутку ризику ризикованого активу і його питомої ваги у портфелі. Очікувана дохідність визначається за формулою

.

Графічно залежність між очікуваними ризиком і дохідністю являє собою пряму лінію, як показано на рис.15. Змінюючи питому вагу активу А, інвестор може побудувати портфель з різними характеристиками ризику і дохідності; всі вони розташовуються на відрізку АВ, і їх ризик пропорційний питомій вазі активу А. Такий випадок можна розглядати як купівлю інвестором ризикового активу А, а також надання кредиту (купівля активу В), оскільки придбання активу без ризику є не що інше як кредитування емітента. Тому портфелі на відрізку АВ, наприклад, портфель С, є кредитними.

Інвестор може побудувати свою стратегію не тільки на основі надання кредиту, але і позичаючи кошти під більш низький відсоток, ніж очікувана дохідність ризикового активу А, з метою придбання на них активу А, щоб отримати додатковий дохід. У цьому випадку інвестор отримує можливість сформувати будь-який портфель, який розташовується на продовженні прямої АВ за межами точки А, наприклад портфель D. Йому властиві більш високі ризик і очікувана дохідність. Оскільки для формування портфеля D інвестор позичає кошти, то його називають позичковим портфелем. Таким чином, всі портфелі, які знаходяться на продовженні прямої АВ вище за точку А, називають позичковими портфелями.

Використовуючи фінансовий важіль, теоретично інвестор може отримати будь-яке високе значення очікуваної дохідності. Такі портфелі розташовуються на продовженні прямої АВ (рис.15) вище за точку А. Однак на практиці вкладник стикнеться з двома проблемами, які обмежать очікувану дохідність його стратегії: 1) проблема отримання кредиту у більших розмірах, ніж дозволяє його власне фінансове становище; 2) законодавство встановлює верхню межу використання позичкових коштів при купівлі цінних паперів.