Задачи по теме «Равномерное движение. Сложение скоростей. Относительность движения»

1. Человеку необходимо перейти поле и переплыть реку за кратчайшее время. До реки 1 км, ширина реки 100 м, река прямая. Скорость передвижения человека по полю 5 км/час, по воде (относительно воды) 1 км/час. Скорость течения реки относительно берегов 5 км/час. Найти минимальное время движения. Найти модуль вектора перемещения человека в этом случае. Как нужно двигаться человеку, чтобы модуль вектора перемещения был минимальным? Найти его.

Решение:

а) минимальное время движения (рисунок)

Минимальное время движения достигается, когда скорость человека и при движении по полю, и при движении по реке, направлена перпендикулярно берегу реки. В этом случае

Вектор перемещения в данном случае определяется из соотношения:

б) минимальный вектор перемещения

Минимальный вектор перемещения – перпендикуляр из исходной точки положения человека к противоположному берегу реки (рисунок). Человек должен идти по берегу так, чтобы компенсировать дальнейший снос рекой при плавании. Возможный вариант – по полю двигаться под некоторым углом α к перпендикуляру к берегу, а в воде двигаться перпендикулярно берегу. Тогда α определяется из соотношения:

Есть и второе решение. Найдите его.

2. Обское море ранее было прямой рекой. Чартерный пароход «Обь» совершал рейс по реке от Новосибирска до Камня - на Оби и обратно за время t, а сейчас по морю за время T. Сравнить t и T (<,>,=?)

Решение:

Пусть расстояние от Новосибирска до Камня - на Оби равно , скорость течения , скорость парохода относительно воды . Пароход за один рейс проходит путь (и по реке, и по морю).

а) Когда пароход двигался по реке, при движении «туда» скорость парохода относительно берегов была , при движении «обратно» . Таким образом, полное время движения парохода туда-обратно по реке:

б) Когда построили водохранилище, исчезло течение. То есть пароход стал двигаться равномерно в прямом и обратном направлении с одинаковой скоростью . Тогда время его движения по морю:

.

Поскольку <1, .

3. Метеорит, летящий со скоростью , после подрыва разрывается на два одинаковых осколка. На каком минимальном расстоянии от Земли нужно сделать подрыв, чтобы осколки пролетели мимо. Относительная скорость осколков . Считать, что после подрыва поле Земли практически не меняет скорости осколков. Радиус Земли R. Вектор проходит через центр Земли.

Решение:

Метеорит двигался равномерно. Его скорость была направлена к центру Земли. После взрыва (рисунок а) траектория движения осколков должна стать такой, чтобы касаться Земли в некоторой точке (из условия минимальности расстояния от Земли до точки подрыва). Тогда угол

между исходной траекторией метеорита и траекторией осколка:. .

До взрыва метеорит имел скорость , направленную к центру Земли. После взрыва осколки метеорита сохранили эту компоненту скорости. Кроме того, у осколков возникла компонента скорости ± u, перпендикулярная исходной скорости (рисунок б). При равномерном движении вектор скорости и перемещения сонаправлены, поэтому можно записать:

.

Поскольку - расстояние от точки подрыва до центра Земли.

4. На круговом конвейере двигаются сумки (в аэропорту). В поисках своей сумки студент ФЕН, пройдя рядом с конвейером в одну сторону пять кругов, насчитал 400 сумок, пять кругов в обратную – 600. Сумки не снимали и дополнительно не ставили. Сколько всего было сумок на конвейере? Найти скорость конвейера. Скорость студента 5 км/час.

Решение:

Студент идет вдоль конвейера равномерно. Конвейер также движется равномерно. Время движения вдоль конвейера (прохода пяти кругов) не меняется при включении конвейера. Пусть плотность сумок на конвейере составляет сумок на метр, всего на конвейере количество сумок , скорость студента , скорость конвейера . Тогда длина конвейера , время движения студента в ту и другую сторону при проходе пяти кругов , одного круга . В единицу времени при движении вдоль покоящегося конвейера студент насчитывает сумок , при движении по ходу движущегося конвейера насчитывает сумок , при движении в обратную сторону насчитывает сумок . Тогда ; . Из последних соотношений получаем , и, поскольку , находим , а также . Всего сумок на конвейере . Поскольку , находим .