При изучении зависимости экономических показателей на основе реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики можно сделать выводы, что линейные зависимости встречаются не так часто. Их используют как частный случай для удобства и наглядности рассмотрения протекаемого экономического процесса. Чаще встречаются модели, которые отражают экономические процессы в виде нелинейной зависимости. Например, затухающие гармонические (или негармонические) колебания с экономической точки зрения могут характеризовать объемы продаж сезонного товара на этапе ухода с рынка. Зависимость в виде выпуклой параболы может характеризовать жизненный цикл товара, а график в виде вогнутой параболы - ремаркетинг. Существует еще так называемая кусочная функция, которая на разных участках области определения может быть задана разными аналитическими выражениями. Один из самых простых ее видов – кусочно-линейная функция, в которой каждая входящая кусочная функция является линейной (зигзаг из прямых линий). Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.
|
|
Различают два класса нелинейных регрессий:
1) нелинейные относительно объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
2) нелинейные по оцениваемым параметрам.
Класс регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, но линейных по оцениваемым параметрам, включает уравнения, в которых зависимая переменная линейно связана с параметрами. Примеры таких регрессий:
· полиномы разных степеней (полином k -ой степени);
· равносторонняя гипербола .
При оценке параметров регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, используется метод замены переменных. Суть его состоит в замене нелинейных объясняющих переменных новыми линейными переменными, в результате чего нелинейная регрессия сводится к линейной. К новой, преобразованной регрессии может быть применен обычный МНК.
Пример. Дано:
Температура Х, °С | |||||||||||
Объем выпуска продукции Y, шт. |
Построить модель зависимости объема выпускаемой продукции от температуры при технологическом процессе с помощью полинома второй степени (парабола второй степени): . Исходные данные и результаты расчетов отобразить на графике.
Решение (сделайте самостоятельно по задаче из 1 семестра). Введем новую переменную , получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: , для оценки параметров которого используем обычный МНК. В результате получают модель .
|
|
Полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Среди нелинейной полиноминальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях – полином третьего порядка. Ограничение в использовании полиномов более высоких порядков связано с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.
Равносторонняя гипербола, для оценки параметров которой применяется тот же метод замены переменных ( заменяют на переменную z) может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов и топлива с объемом выпускаемой продукции. Построить: 1) диаграмму рассеяния; 2) модель регрессии зависимости темпов инфляции от нормы безработицы. Результаты расчетов отобразить на графике.
Пример. Дано:
Темпы инфляции Y | 1,1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,7 | 2,9 | 2,9 | 4,2 | 5,4 |
Норма безработицы Х | 6,5 | 5,4 | 5,5 | 5,0 | 4,4 | 3,7 | 3,7 | 3,5 | 3,4 |
Решение. 1. Построить диаграмму рассеяния для переменной Х (процент безработных в общей численности рабочей силы) и Y (темпы инфляции) по данным табл. Характер диаграммы рассеяния явно указывает на наличие нелинейной связи между рассматриваемыми переменными. Если подобрать МНК линейную зависимость , то она очевидным образом не соответствует характеру статистических данных, хотя значение коэффициента детерминации =0,7184 и представляется достаточно высоким. В связи с этим при подборе моделей к реальным статистическим данным следует обращать внимание не только на коэффициент детерминации, но и обязательно на соответствие подобранной модели характеру статистических данных. Здесь рассматривается модель равносторонней гиперболы , соответствующую линейной связи между переменными Y и Z: , где . Подбор такой связи приводит к модели с достаточно высоким коэффициентом детерминации =0,8307.
На практике подбор наилучшей модели регрессии выполняют с помощью специальных программных продуктов: Statistica, SSPS, VSTAT, СТАТЭКСПЕРТ и т.п. Использование ППП СТАТЭКСПЕРТ позволило получить модель с еще большим коэффициентом детерминации =0,985.
К классу регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам, относятся уравнения, в которых зависимая переменная нелинейно связана с параметрами:
· степенная ;
· показательная ;
· экспоненциальная .
Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду, например, логарифмированием и заменой переменных. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции и для оценки ее параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода.
Примером регрессии, нелинейной по параметрам, но внутренне линейной, является степенная функция, которая широко используется в экономических исследованиях при изучении зависимости спроса от цен: , где - величина спроса; х – цена товара. Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, так как включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду: . Заменив переменные и параметры, получим линейную регрессию, оценки параметров которой a и b могут быть найдены с помощью МНК. Широкое использование функции связано тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование - он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Коэффициент эластичности можно определить и при других формах связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b.
|
|
Пример. По 12-ти областям получена информация, характеризующая зависимость потребительских расходов Y на душу населения от денежных доходов X:
№ области | Расходы Y, руб. | Доходы Х, руб. | № области | Расходы Y, руб. | Доходы Х, руб. |
1) Построить степенную модель. 2) Оценить модель, определив индекс корреляции, среднюю относительную ошибку и коэффициент детерминации. 3) Исходные данные и результаты расчетов изобразить на графике.
Решение. Уравнение степенной модели: . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого прологарифмируем обе части уравнения: . Обозначим YL = lnY = ; XL=lnX= ; AL=lna. Тогда уравнение примет вид - линейного уравнения регрессия. Для оценки этого уравнения используется обычный МНК. Полученное уравнение регрессии имеет вид: .
Затем, возвращаются к исходным переменным Х и Y, выполнив потенцирование данного уравнения: ( 2,797). Получим уравнение степенной модели регрессии: .
№ области | Расходы Y, руб. | Доходы Х, руб. | YL | XL | y^=2,797xi0,679 | (yi-y^)2 | (yi-ycp)2 | |
5,2983 | 6,3279 | 205,4528 | 29,7334 | 9587,6736 | ||||
5,3936 | 6,4297 | 220,1539 | 0,0237 | 6071,0069 | ||||
5,4381 | 6,4922 | 229,7010 | 0,0894 | 4612,6736 | ||||
5,4806 | 6,5367 | 236,7396 | 10,6299 | 3354,3403 | ||||
5,5413 | 6,6333 | 252,7929 | 4,8712 | 1841,8403 | ||||
5,6348 | 6,7799 | 279,2519 | 0,5596 | 321,0069 | ||||
5,7366 | 6,9078 | 304,5737 | 29,4442 | 146,0069 | ||||
5,7991 | 7,0031 | 324,9362 | 25,6421 | 1029,3403 | ||||
5,8861 | 7,1701 | 363,9653 | 15,7238 | 3854,3403 | ||||
5,9135 | 7,2079 | 373,4127 | 11,6466 | 5196,0069 | ||||
5,9402 | 7,2442 | 382,7484 | 7,5538 | 6737,6736 | ||||
5,9915 | 7,3132 | 401,1053 | 1,2218 | 10421,0069 | ||||
Сумма | 68,0536 | 82,0461 | 3574,8339 | 137,1394 | 53172,9167 | |||
Среднее | 297,9167 | 985,00 | 5,6711 | 6,8372 | 297,9028 | 11,4283 | 4431,0764 |
2. Определяем индекс корреляции:
|
|
= =0,9987. Связь между показателем Y и фактором Х можно считать достаточно сильной. Коэффициент детерминации = =0,9974. Вариация результата Y на 99,74% объясняется вариацией фактора Х.
Расходы Y, руб. | Доходы Х, руб. | y^=2,797xi0,679 | (yi-ycp)2 | ei | еi2 | ||
205,4636 | 9587,6736 | -5,4636 | 0,0266 | 29,8513 | |||
220,1655 | 6071,0069 | -0,1655 | 0,0008 | 0,0274 | |||
229,7130 | 4612,6736 | 0,2870 | 0,0012 | 0,0823 | |||
236,7521 | 3354,3403 | 3,2479 | 0,0137 | 10,5489 | |||
252,8062 | 1841,8403 | 2,1938 | 0,0087 | 4,8127 | |||
279,2666 | 321,0069 | 0,7334 | 0,0026 | 0,5378 | |||
304,5898 | 146,0069 | 5,4102 | 0,0178 | 29,2707 | |||
324,9533 | 1029,3403 | 5,0467 | 0,0155 | 25,4693 | |||
363,9845 | 3854,3403 | -3,9845 | 0,0109 | 15,8759 | |||
373,4323 | 5196,0069 | -3,4323 | 0,0092 | 11,7810 | |||
382,7685 | 6737,6736 | -2,7685 | 0,0072 | 7,6648 | |||
401,1264 | 10421,0069 | -1,1264 | 0,0028 | 1,2688 | |||
Сумма | 3575,0219 | 53172,9167 | -0,0219 | 0,1171 | 137,1910 |
Средняя относительная ошибка = =0,009757272%»1%. В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 1%.
На рис. изображены исходные данные и результаты моделирования.