Методы обработки скалярных временных рядов

Введение

Работа ионосферных каналов связи (ИКС) основана на явлении однократного или многократного отражения излучения коротковолнового диапазона от ионосферы. К серьезным недостаткам ИКС можно отнести низкую скорость и слабую помехоустойчивость процесса передачи информации, обусловленные нестационарностью ионосферы. Флуктуации параметров радиоканала требуют решения многопараметрической задачи определения количества мод распространения, учета вариаций амплитуд и фаз каждой из них, оценки тонкой пространственно-временной структуры поля в зоне приема и т. д. [1,2,3].

Проведенные в последние годы успешные исследования с позиций теории динамического хаоса позволили установить ряд физических закономерностей, связывающих статистические и фрактальные характеристики среды и регистрируемой волны [4,5,6,7]. Одной из сильных сторон методов нелинейно-динамического описания является прогнозирование свойств физической системы. Как правило, «глубина прогноза» определяется объемом первичной выборки.

Цель данной работы состоит в оценке эффективности применения методов нелинейной динамики для анализа волновых процессов в слабо возмущенном ионосферном канале. Выполнена реконструкция аттрактора системы в фазовом пространстве, оценены основные пространственные (корреляционная размерность) и динамические (максимальный показатель Ляпунова) фрактальные характеристики исследуемой системы.

Методы обработки скалярных временных рядов

Пусть наблюдаемая физическая величина образует скалярный временной ряд значений с эквидистантным шагом . Анализ временного ряда позволяет оценить число независимых переменных, необходимых для описания системы, то есть число «степеней свободы» или размерность пространства состояний. В принципе, возможно конструирование модели системы в виде дифференциальных уравнений или отображений, которая позволяла бы адекватно воспроизвести наблюдаемую временную зависимость и прогнозировать ее поведение.

Математической основой для процедуры реконструкции фазовых траекторий служит теорема Такенса [8,9], основанная на операциях вложения множеств. Пусть A есть компактное подмножество N -мерного пространства X. Определим вложение множества A в m -мерное пространство Y как задание отображения X в Y такого, что совпадение образов двух векторов, принадлежащих A, возможно только при равенстве этих векторов. Теорема Такенса утверждает, что любое гладкое отображение X в Y будет задавать вложение множества A в пространство Y при условии, что m > 2 D_A +1, где D_A - фрактальная размерность множества A.

Множество точек последовательности состояний системы в собственных координатах принято называть ее фазовой траекторией. Если поведение системы полностью стохастично, фазовая траектория равномерно заполняет некоторый объем фазового пространства. Если же это детерминированный или динамически хаотичный процесс, траектория заполнит поверхность какой-либо фигуры в многомерном пространстве.

Ряд методик [4] позволяет восстановить параметры динамической системы по единственной реализации процесса путем изучения траектории системы в фазовом пространстве, координатами которого являются компоненты вектора . Временной шаг принято называть интервалом задержки, а m - вложенной размерностью выборки. Данная операция называется «погружением аттрактора» в пространство размерности m. Результатом успешного погружения является выявление определенных закономерностей в поведении траектории системы в пространстве данной размерности. Существует несколько способов отбора параметров реконструкции, но ни один не дает однозначного ответа [5].

Для выбора оптимального интервала задержки была использована методика, разработанная Фразером и Свинни [10]. Она основана на теории информации и предлагает использовать значение первого локального минимума взаимной информации для x_i и в качестве интервала задержки. Конечная формула взаимной информации выглядит следующим образом:

(1)

где P_h - вероятность пребывания в интервале значений с номером h, P_hk - вероятность того, что x_i находится в h -ом интервале, а - в k -ом.

Выбор оптимальной вложенной размерности производился с помощью метода ложных ближайших соседей (false nearest neighbours - FNN) [11,12]. Пусть P_h ^(m) и P_k ^(m) - два близких соседа в реконструкции m, а P_h ^{(m +1)} и P_k ^{(m +1)} соответствующие им векторы в реконструкции размерности m +1. Для каждой точки в серии вычисляется соотношение:

(2)

Если R_i превышает некоторую константу R_t, эта точка считается ложным ближайшим соседом. Если доля точек, для которых R_t > R_i, равна нулю или достаточно мала, считается, что вложенная размерность достигает минимального значения, необходимого для описания динамики системы. Для большинства случаев [11] берут R_i = 10.

Одна из основных и самых информативных характеристик хаотических процессов - корреляционная размерность восстановленного аттрактора. Она показывает, насколько сложная система стоит за наблюдаемым процессом. Чем сложнее система, тем больше уравнений требуется для ее описания, тем больше корреляционная размерность, а сам процесс ближе по своим характеристикам к белому шуму. Таким образом, данную величину можно также рассматривать как меру стохастичности процесса.

Введем определение корреляционной суммы для множества точек p_i фазового пространства, как отношение количества пар точек расстояние между которыми не превышает значения , к полному числу пар точек [8]:

(3)

где - функция Хевисайда. Отсюда корреляционная размерность:

(4)

Для обеспечения достаточной статистики нужно иметь или , тогда - максимальная размерность, которую допустимо оценивать, имея в распоряжении M точек. Метод главных компонент [13], также известный как метод эффективной размерности, сингулярное разложение, преобразование Корунена-Лоэва, - является широко используемой техникой для уменьшения размерности многомерных данных до нескольких главных мод. Результатом измерений будет временной ряд а результатом реконструкции аттрактора m -мерных векторов. Поэтому решено использовать простой итерационный алгоритм сингулярного разложения. К достоинствам этого разложения относятся его простота и возможность почти без изменений перенести его на данные с пробелами, а также взвешенные данные.