нормального распределения при неизвестном
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а с помощью доверительных интервалов. Разумеется, невозможно воспользоваться результатами предыдущего параграфа, в котором предполагалось известным.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину T (ее возможные значения будем обозначать через t):
,
которая имеет распределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы; здесь — выборочная средняя, S — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, n — объем выборки
Число степеней свободы меньше объема выборки на число связей между переменными. Например, если найти среднее значение полученных в результате выборки значений - и зафиксировать это значение для соответствующих k случайных величин , т. е. признать верным выражение для всех значений этих величин, то одну из величин всегда можно выразить через остальные. Это значит, что она оказалась связанной и система случайных величин потеряла одну степень свободы.
|
|
Пользуясь распределением Стьюдента, найдем доверительный интервал
, покрывающий неизвестный параметр а с надежностью .
Здесь случайные величины и S заменены неслучайными величинами и s, найденными по выборке. По таблице по заданным n и можно найти .
Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n =16 найдены выборочная средняя = 20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.
Решение. Найдем . Пользуясь таблицей, по = 0,95 и n = 16 находим =2,13.
Найдем доверительный интервал:
(20,2-2,13 0,8/ ; 20,2+2,13 0,8/ ) ^ (19,774; 20,626)
Распределение