Пусть вероятность события B не зависит от появления события А.
Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности события B, т. е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:
(4.4)
Подставив (4.4) в соотношение (4.2), получим
= P (В) Р В(А)= P (А) P (В)
Условная вероятность события A в предположении, что наступило событие B, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В.
Итак, если событие B не зависит от события A, то и событие A не зависит от события B; это означает, что свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения P (АВ) = Р (А) РА (В) имеет вид
, (4.5)
т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Равенство (3.5) принимают в качестве определения независимых событий.
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.
Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.
Решение. Вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.Поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность
Р (АВ) = Р(А) Р (В) = 0,7 0,8 = 0,56.
Замечание 1. Если события A и B независимы, то независимы также события A и , и В, и .
Докажем, что A и независимы.
Пусть A и B независимые события.
А = A + АВ
События A и АВ несовместны, тогда
Р(А) = Р(А )+Р(АВ)= Р(А ) + Р(А)Р(В)
P (A )=Р(A)[1 - Р(В)], или Р(А )=Р(А)Р( ),
т. е. события A и независимы.
Независимость событий и B, и - следствие доказанного утверждения.
Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.
Например, события A, В, С попарно независимы, если независимы события A и B, А и C, B и С.
Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие
независимости событий в совокупности.
Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Например, если события независимы в совокупности, то независимы события и , и , и ; и , и , и . Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна, его безусловной вероятности.
Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.
Приведем теперь следствие из теоремы умножения.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
. (4.6)
Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно совмещению событий АВ и C. Так как события А, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух независимых событий имеем:
Р(АВС) = Р (АВ) Р (С) и Р (АВ) =Р(А) Р (В).
Итак, окончательно получим
Р (ABC) = Р (А) Р (В) Р (С).
Для произвольного n доказательство проводится методом математической индукции.
Замечание. Если события независимы в совокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности.