Если А – квадратная матрица, то определено произведение АА, которое называется квадратом матрицы А и обозначается А 2. Квадрат матрицы А является квадратной матрицей того же порядка, что и А, поэтому определено и произведение АА 2. Вообще, если для квадратной матрицы определена степень , то по определению .
Лемма 1.2. Для любой квадратной матрицы А и для любого натурального n справедливо равенство .
►Доказательство проведем методом математической индукции.
Проверяем утверждение при n = 1: А А = A A – истинно.
Предполагая, что утверждение верно при n = k, доказываем, что оно верно при n = k +1.
[определение k + 1-й степени] = [предположение индукции] = [ассоциативность произведения] = [определение k + 1-й степени] = .◄
Если произведение матриц коммутативно, то они называются коммутирующими или перестановочными. Таким образом, степени одной и той же квадратной матрицы перестановочны.
Можно доказать, что натуральные степени квадратной матрицы обладают следующими свойствами:
1°. : ;
|
|
2°. : .
Если , то по определению считается, что A 0 = E.