8.1. Определение производной функции в точке.
- внутренняя точка из области определения, т.е. она лежит в области определения вместе с некоторой своей окрестностью ().
- приращение переменной.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Если предел существует и конечен, то функция называется дифференцируемой в точке .
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Пример 5:
8.2. Односторонние производные. Связь непрерывности функции в точке с существованием конечной производной.
- производная слева функции в точке .
- производная справа функции в точке .
не лежит в области определения.
По теореме о связи существования конечного предела с односторонним пределом:
.
Т. О связи непрерывности функции в точке с существованием конечной производной.
Если функция имеет конечную производную в точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство:
По условию
(по определению) непрерывна в точке , ч.т.д.
Обратное не верно.
Пример 1: в точке непрерывна, т.к.
не существует производной.
Пример 2:
(т.к. - б.м., - ограниченная)
непрерывна в точке
не существует.
8.3. Правила вычисления производной. Таблица производных.
()
1)
2)
3)
Доказательство:
4)
Доказательство:
5)
Доказательство:
Обозначим .
при в силу непрерывности .
, ч.т.д.
6) где непрерывна в точке .
Доказательство:
при , т.к. непрерывна.
, ч.т.д.
7)
Доказательство:
, ч.т.д.
8)
Доказательство:
, ч.т.д.
9)
Доказательство:
, ч.т.д.
10)
Доказательство:
, ч.т.д.
11)
Доказательство:
, ч.т.д.
12)
Доказательство:
, ч.т.д.
13)
Доказательство:
, ч.т.д.
14)
Доказательство:
, ч.т.д.
15)
Доказательство:
, ч.т.д.
16)
Доказательство:
, ч.т.д.
17)
Доказательство:
, ч.т.д.
Таблица производных
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
8.4. Физический и геометрический смысл производной.
- путь, пройденный к моменту .
Зафиксируем .
- путь, пройденный к моменту .
- путь, пройденный за время .
(средняя скорость)
(мгновенная скорость)
Физический смысл производной: .
Геометрический смысл:
(угол наклона секущей AB).
Если , то т. B т. A и секущая становится касательной.
- угол наклона к оси касательной к графику функции в точке .
Уравнение касательной и нормали.
найдем из условия, что точка лежит на прямой.
- уравнение касательной в точке .
Нормаль – прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной.
- уравнение нормали в точке .
8.5. Степенно-показательная функция. Логарифмическое дифференцирование.
- степенно-показательная функция.
Если точка такая, что и непрерывны в этой точке и , тогда тоже непрерывна в точке (по теореме о непрерывности композиции и произведения непрерывных функций).
.
Вычисление производной:
1)
2) - уравнение для логарифмического дифференцирования.
Пример:
Логарифмическое дифференцирование употребляется не только при дифференцировании степенно-показательных функций, но и когда это упрощает вычисления.
8.6. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.
Функция дифференцируема в точке, если ее приращение представимо в виде суммы главной линейной части относительно приращения переменной (дифференциала) и бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение переменной.
.
Пример:
- главная линейная часть (дифференциал).
Т. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
(функция дифференцируема в точке ) .
Доказательство:
() (необходимость)
Пусть дифференцируема в точке
, ч.т.д.
() (достаточность)
Пусть
- б.м. при .
, где - главная линейная часть (дифференциал), , ч.т.д.
Пример: не дифференцируема в точке .
- не существует конечной производной, значит функция не дифференцируема.
Если производная в точке равна , то в этой точке вертикальная касательная.
Если , то
Привала для вычисления дифференциала.
1)
2)
3)
4)
Доказательство:
, ч.т.д.
5) Инвариантность дифференциала
- независимая переменная.
Пусть . , тогда . Т.к. , то .
Инвариантность дифференциала заключается в том, что дифференциал всегда имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на приращение этой переменной - не зависимо от того, будет ли эта переменная независимой, либо сама будет функцией от некоторой переменной.
Геометрический смысл дифференциала.
Геометрический смысл состоит в том, что он равен приращению, которое получает касательная к графику в точке при переходе от точки к точке .
Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- приращение функции ().
При малых .
дифференцируема в точке , т.е.
- уравнение для приближенных вычислений значений функций.
Пример 1:
Пример 2: º
º=
8.7. Производные высших порядков.
- внутренняя точка области определения.
Пусть в некоторой везде существует производная: .
Т.о. определена в окрестности , - внутренняя точка области определения для .
Аналогично определяется производная третьего порядка и т.д.
Пример 1:
Пример 2:
Правила для вычисления .
1)
2)
3) - формула Лейбница
Доказательство: (ММИ)
Обозначим ,
тогда второе слагаемое примет вид .
Заменим m на k. .
Пример:
8.8. Функции, заданные параметрически. Производная функции, заданной параметрически.
задана параметрически: .
Физический смысл:
Это можно понимать как координаты точки на плоскости в момент времени .
Иногда параметр можно выразить из системы и представить функцию в явном виде.
- функция задана явно.
Как считать производную функции, заданной параметрически, если нельзя выразить функцию явно?
Пример 1:
Пример 2: Написать уравнение касательной к функции в точке .
- уравнение касательной в точке .
8.9. Производная функции, заданной неявно.
Неявное задание – один из способов задания функции.
- уравнение задает функцию .
Пример:
- функция задана явно
Как считать производную функции, заданной неявно?
Нужно равенство дифференцировать как тождество, считая независимой переменной, а - функцией от .
Пример 1:
Пример 2:
Можно упрощать, используя первоначальное уравнение .
8.10. Дифференциалы высшего порядка.
Дифференциал второго порядка – это дифференциал от дифференциала первого порядка.
Дифференциал первого порядка – это функция от двух переменных: и приращения .
Зафиксируем :
(1)
Свойства дифференциала -того прядка.
1)
2)
3)
4) Свойство инвариантности, справедливое для дифференциала первого порядка, для дифференциала -того прядка не верно.
(2)
Формулы (1) и (2) отличаются вторым слагаемым. Если оно не равно нулю, то свойство инвариантности не выполняется.
Если , то свойство инвариантности выполняется.
8.11. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Т.1. Теорема Ферма.
Пусть:1) функция определена на промежутке
2) - внутренняя точка промежутка
3) функция в точке принимает наибольшее значение, т.е. для всех других точек
4) существует конечная производная в точке .
Тогда .
Доказательство:
По условию .
(по условию), значит
, значит
, ч.т.д.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если в точке, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, существует касательная, то она параллельна оси .
Т.2. Теорема Роля.
Пусть:1) определена и непрерывна на отрезке
2)
3) .
Тогда внутри отрезка найдется точка, в которой производная функции обращается в нуль, т.е.
Доказательство:
Пусть
I сл) , тогда
II сл) . Поскольку функция на концах отрезка принимает одинаковые значения, то одно из значений (либо , либо ) достигается во внутренней точке . Тогда для точки выполняются все условия теоремы Ферма, значит , ч.т.д.
Геометрический смысл теоремы Роля: если функция удовлетворяет условиям теоремы Роля, тогда найдется точка, в которой касательная параллельна оси .
Т.3. Теорема Лагранжа.
Пусть:1) определена и непрерывна на отрезке
2)
Тогда найдется точка внутри отрезка такая, что производная в этой точке будет равна , т.е. .
Доказательство:
Введем вспомогательную функцию .
удовлетворяет условиям теоремы Роля (непрерывна, как разность двух непрерывных функций, дифференцируема).
По теореме Роля
, ч.т.д.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа:
- угол наклона секущей, проходящей через точки и .
- угол наклона касательной в точке , т.е. внутри отрезка найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки и .
Формула конечных приращений Лагранжа.
Т.4. Теорема Коши
Пусть:1) и определены и непрерывны на отрезке
2)
Тогда .
Доказательство:
Введем вспомогательную функцию .
непрерывна и дифференцируема на , , т.е. удовлетворяет условиям теоремы Роля, значит
, ч.т.д.
8.12. Правила Лопиталя.
Правила Лопиталя – правила для вычисления предела функции (раскрытие неопределенности или ).
Т.1. Пусть: 1) и определены на
2) дифференцируемы на ,
3)
4)
Тогда. .
Доказательство: (по теореме Коши)
Доопределим и в точке по непрерывности:
Замена: при , тогда
, ч.т.д.
Т.2. Пусть: 1) и определены на
2) дифференцируемы на ,
3)
4)
Тогда. .
Доказательство:
Пусть для определенности. Замена: .
, по Т.1.
, ч.т.д.
, где
Т.3. Пусть: 1) и определены на
2) дифференцируемы на ,
3)
4)
Тогда. .
Пусть: 1) и определены на
2) дифференцируемы на ,
3)
4)
Тогда. .
, где
Пример 1: ,
Степенная функция растет быстрее логарифмической при .
Пример 2:
Показательная функция (при ) растет быстрее степенной при .
Пример 3:
Пример 4:
8.13. Формула Тейлора и Маклорена для многочлена.
, , , …, .
Коэффициенты многочлена выражаются через его значение и производные.
- формула Маклорена (разложение по степеням ).
По формуле Маклорена:
, , , , …, .
, …
- формула Тейлора для многочлена (разложение по степеням ).
8.14. Формула Тейлора и Маклорена для произвольной функции.
Пусть - функция такая, что у нее существуют производные до , т.е. все производные от 1 до существуют в некоторой окрестности точки .
- многочлен Тейлора для функции в точке .
- формула Тейлора ( - остаточный член).
Формула Тейлора с остаточным в форме Пеано.
, при
Доказательство:
Докажем, что , при , т.е. .
, …
, ч.т.д.
Для приложения формулы Тейлора нужны более конкретные формы.
Наложим на функцию более сильные ограничения.
Пусть в некоторой окрестности точки () существуют .
Возьмем , между и .
Составим функцию
Вычислим :
Выберем другую (произвольную) функцию такую, чтобы она удовлетворяла условиям теоремы Коши в , и запишем теорему Коши для функций и .
, где между и .
Подставляя разные функции , получаем разные виды остаточного члена.
1) Остаточный член в форме Лагранжа.
, где между и - формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
2) Остаточный член в форме Коши.
,
, где между и , - формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши.
3) Остаточный член в форме Шлемильха и Роша.
, где между и - формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха и Роша.
Многочлен Тейлора – многочлен наилучшего приближения для функции в окрестности точки , т.е. из всех многочленов фиксированной степени в окрестности точки лучше всего функцию приближает именно многочлен Тейлора.
8.15. Разложение по формуле Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций.
, при
1)
, при .
2)
, при .
3)
, при .
4)
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: