Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если её график лежит ниже касательной на этом промежутке.
f(x) f(x0)+f `(x0)(x-x0),
Теорема 1 Первый критерий выпуклости функции на промежутке
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке X, дифференцируема в любой внутренней точке ()
Тогда:
1) f(x)-выпукла вниз на X f `(x) – неубывающая на X0
2) f(x)-выпукла вверх на X f `(x) – невозрастающая X0
Доказательство:
1) Необходимость
По условию, f(x) выпукла вниз, докажем, что f `(x) неубывающая (то есть )
Возьмём
- по определению выпуклости
- по определению выпуклости
, так как
1) Достаточность
По условию производная - неубывающая, доказать f(x)-выпукла вниз, то есть (1)
Пусть для определённости
Докажем:
(2)
На отрезке от x до x0 выполняются условия теоремы Лагранжа
(3)
подставив (3) в (2)
(1) (2) (3) – равносильны
доказательство аналогичное
2) для пункта 2 аналогично пункту 1
Теорема 2 Второй критерий выпуклости функции на промежутке
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке X и дифференцируема в любой внутренней точке промежутка
|
|
Тогда
1) f(x)-выпукла вниз на X (x)
2) f(x)-выпукла вверх на X (x)
Доказательство:
Необходимость
f(x) – выпукла вниз на промежутке тогда и только тогда, когда f `(x) по первому критерию выпуклости
Достаточность
По критерию монотонности