Неопределенного интеграла

Первообразная и неопределенный интеграл. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f'(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача: Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x). Т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением F'(x)=f(x) или dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx.

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx

Из дифференциального исчисления известно, что если две функции f(x) и φ(x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если f(x) = φ(x) + C, то

f'(x) = φ '(x) или f '(x)dx = φ'(x)dx.

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и φ (x) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если f '(x) =φ'(x) или df(x) = d φ(x), то f(x) = φ(x) + С.

Отсюда следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x).

Основная теорема о первообразных: всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

Геометрическая иллюстрация этого факта приведена на рисунке.

Действительно, на данном графике видно, что некоторая функция имеет бесчисленное множество первообразных, каждая из которых сдвинута относительно соседней на некоторую постоянную величину.

Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x), где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f(x)dx.

Таким образом, по определению, f(x)dx=F(x)+C, где F'(x)=f(x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная.

В последней формуле f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а символ ∫ знаком неопределенного интеграла. Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции

Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.