Стационарными методами

Существующие стационарные методы определения коэффициента теплопроводности основаны на частных решениях дифференциального уравнения теплопроводности:

¶t /¶t = а·Ñ²t (1.5)

Для стационарного процесса ¶t /¶t = 0, следовательно

,

здесь - оператор Лапласа,

а = λ/(сρ) – коэффициент температуропроводности.

При экспериментальном определении теплопроводности, как правило, стремятся к созданию одномерного температурного поля.

Рассмотрим передачу теплоты через цилиндрическую стенку (рис.1)

Примем следующие допущения:

1. Цилиндр неограниченный.

2. Температурное поле одномерно (температура стенки изменяется только в радиальном направлении.

3. Стенка однослойная.

Внутренний радиус трубы R₁, наружный R₂, длина трубы L, коэффициент теплопроводности материала стенки l = const (стенка однородная и изотропная).

Граничные условия:

при R = R₁ t = t_c1 (на внутренней поверхности трубы);

при R = R₂ t = t_c2 (на наружной поверхности трубы).

Рис. 1. Однородная цилиндрическая стенка. Граничные условия первого рода.

Выделим в стенке трубы цилиндрическую поверхность, имеющую радиус R, и запишем выражение для теплового потока через эту поверхность в соответствии с законом Фурье, выразив площадь выделенной поверхности через 2pRL,

(1.6)

Выражение для температурного градиента здесь записано в виде dt/dR, т.к. температура стенки изменяется только в направлении радиуса.

Обозначим

- Q/(2πRL) = A, (1.7)

тогда

dt = A(dR/R) (1.8)

После интегрирования получим

t = AlnR + B (1.9)

Это выражение показывает, что изменение температуры в стенке цилиндрической трубы подчиняется закону логарифмической кривой (при l = const и при отсутствии внутренних источников теплоты).

Освободимся от постоянной интегрирования В, для чего воспользуемся граничными условиями:

t_c1 = AlnR₁ + B; t_c2 = AlnR₂ + B

Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим

(1.10)

Тепловой поток можно определить, если найденное значение А из (1.10) подставить в (1.7). При этом, чтобы устранить знак “-” в левой части уравнения, надо под знаком логарифма изменить отношение радиусов на обратное. Тогда

или

(1.11)

Выразим отсюда коэффициент теплопроводности

(1.12)

Здесь коэффициент формы (м^-1).

Выражение (1.12) справедливо и для неограниченного плоского слоя приk = d/F, а также шарового слоя при , где d - толщина плоского слоя, м; F - поверхность плоского слоя нормальная к направлению теплового потока, м²; d₁ и d₂ - внутренний и наружный диаметры цилиндрического и шарового слоя, м.

Таким образом, чтобы определить коэффициент теплопроводности исследуемого материала l, необходимо измерить в стационарном режиме тепловой поток Q, проходящий через исследуемый образец, и температуру каждой изотермической поверхности. Уравнение (1.12) описывает распределение температуры в твердых телах, а также в жидкостях и газах при отсутствии других (кроме теплопроводности) способов переноса теплоты. В случае зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнением (1.12) можно пользоваться при условии, что в исследуемом образце имеет место небольшой перепад температур. Полученные при этом средние значения коэффициента теплопроводности будут близки к его истинным значениям.