1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой. Формула Даламбера.
2. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Вероятность противоположного события.
3. Найти решение смешанной задачи
, ,
ГУ: ; НУ: .
4. В хлопке 75% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу трёх волокон окажутся 2 длинных волокна?
1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой имеет вид:
, , ,
начальные условия: , .
Решение задачи будем искать в виде суммы прямой и обратной бегущих волн:
.
Воспользуемся для нахождения функций и начальными условиями:
: ,
: .
Интегрируя уравнение в пределах от до , получим
.
Тогда из системы
, ,
находим
,
.
Значит,
.
Итак, решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой имеет вид
.
Это формула Даламбера.
2. Теорема сложения вероятностей. Если события и совместны, то
.
Доказательство. Пусть – числе всех равновозможных исходов испытания, в результате которого могут появиться события и . Пусть – число тех исходов, которые благоприятствуют событию , – число тех исходов, которые благоприятствуют событию , – число тех исходов, которые благоприятствуют произведению событий . Тогда событию благоприятствуют исходы числом . Значит, по формуле классической вероятности
|
|
.
Следствие. Если события и несовместны, то и
.
Для трех событий , и теорема сложения имеет вид
.
Для событий теорема сложения имеет вид
.
Противоположные события и несовместны и в сумме дают достоверное событие, поэтому
,
откуда получаем формулу для вероятности противоположного события
.
3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, , .
Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений
, .
Из граничных условий , получаем краевые условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: , т.е. .
Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
собственные значения , ;
собственные функции , .
Теперь при каждом решаем уравнение для :
, .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для нахождения коэффициентов , , воспользуемся начальным условием .
Начальное условие дает
|
|
,
откуда
, , .
Тогда решение задачи есть
.
4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – появление при выборе длинного волокна. По условию вероятность «успеха» равна . Проведено испытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 2 раза (т.е. среди взятых наудачу трёх волокон окажутся 2 длинных волокна), равна
.