Лекция № 16
Чтобы вызвать вынужденные колебания нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС.
Пусть внешняя ЭДС изменяется со временем по закону
.
Присоединенный к контуру внешний источник тока совершает положительную работу и, следовательно, увеличивает энергию контура только в том случае, когда в контуре течет ток в направлении электрического поля , созданного этим источником тока. И наоборот, внешняя ЭДС производит отрицательную работу и уменьшает энергию контура, если ток течет в направлении противоположном .
Если при наличии внешней ЭДС в контуре с сопротивлением установились незатухающие колебания, то это значит, что результирующая работа внешнего источника за один период колебаний является положительной и в точности равна потерям энергии в контуре за этот промежуток времени (причем подкачка энергии извне производится так же непрерывно, как она расходуется на различные потери).
|
|
Найдем амплитуду, частоту и фазу силы тока при вынужденных колебаниях.
Запишем для нашего контура уравнение ІІ закона Кирхгофа. Это уравнение будет отличаться от аналогичного уравнения, полученного нами при рассмотрении свободных затухающих колебаний, наличием в правой части внешней ЭДС
.
Разделив его на , с учетом того, что и , получим
.
Применим введенные ранее обозначения и . Тогда
.
По своей форме это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний.
Для нахождения общего решения этого неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и прибавить к нему частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение аналогичного однородного уравнения было получено нами ранее при рассмотрении свободных затухающих колебаний. Это решение имеет вид:
.
Это слагаемое играет существенную роль только в начальной стадии процесса. Потом эти колебания затухают (т.к. в выражении содержится экспоненциальный множитель) и по прошествии достаточного времени становятся очень малыми. Поэтому этими колебаниями пренебрегаем и считаем, что общее решение рассматриваемого неоднородного дифференциального уравнения равно его частному решению.
Частное решение этого уравнения имеет вид
.
Этот вывод и все преобразования аналогичны преобразованиям произведенным нами ранее при рассмотрении уравнения вынужденных механических колебаний.
Входящие в это выражение и соответственно равны
|
|
;
.
Подставив в эти выражения вместо и вместо , получим
; (1)
.
Таким образом, уравнение вынужденных электрических колебаний заряда в контуре имеет вид
.
Разделив это выражение на емкость конденсатора, получим уравнение вынужденных электрических колебаний напряжения на обкладках конденсатора.
.
Обозначим , тогда
.
Подставив в уравнение вместо выражение (1), получим
.
Для того, чтобы найти закон изменения со временем силы тока в таком контуре, необходимо продифференцировать по выражение для заряда переносимого в контуре, т.е.
.
Обозначим . Тогда, с учетом того, что , получим
.
Подставив в формулу вместо выражение (1), получим
.
Как и в случае механических колебаний существует электрический резонанс. Амплитуда вынужденных колебаний тока резко возрастает, когда , и достигает максимального значения при , независимо от величины .
Резонансные кривые для силы тока изображены ниже.
Они соответствуют резонансным кривым для скорости при механических колебаниях.
Резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .
Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси , равен нулю: при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.
Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе равна согласно определению
.
Подставив вместо и , получим
.
Резонансные кривые для напряжения на конденсаторе сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний.
При резонансные кривые стремятся к напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику с ЭДС .
Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше величина , т.е. чем меньше активное сопротивление и чем больше индуктивность контура.
В колебательном контуре можно получить незатухающие колебания только тогда, когда удается осуществить непрерывную компенсацию потерь энергии в контуре. Для этого необходимо, чтобы внешний источник тока совершал положительную работу.
Если частота внешней ЭДС сильно отличается от частоты собственных колебаний контура, то у внешнего источника между ЭДС и силой тока существует разность фаз, вследствие чего за одну часть периода совершается положительная, а за другую – отрицательная работа.
При резонансе ток, текущий через внешний источник, находится в фазе с ЭДС и в течение всего периода совершается только положительная работа.
Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура. Вынужденные колебания можно также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру.
Явление резонанса используется в технике для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно
.
Настроив контур на одну из частот , т.е. подобрав соответствующим образом параметры и , можно получить на конденсаторе напряжение, превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.
Переменный ток
Квазистационарные токи
Законы Ома и Кирхгофа, установленные для постоянного тока, остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока и напряжения, если эти изменения происходят не очень быстро.
Скорость распространения электромагнитных возмущений в электрической цепи равна скорости света.
Если за время, необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех участках цепи будут практически одинаковы. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными.
|
|
Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности запишется как
,
где - длина цепи;
- скорость распространения электромагнитных волн;
- период изменений.
Ток промышленной частоты квазистационарен для цепей длиной до 100 км. Пусть к зажимам сопротивления приложено напряжение, изменяющееся по закону
,
где - амплитудное значение напряжения.
Тогда, согласно условию квазистационарности, по закону Ома
.
Таким образом, между амплитудными значениями силы тока и напряжения имеется соотношение:
.
Переменный ток, текущий через индуктивность
Подадим переменное напряжение на концы индуктивности с пренебрежимо малыми значениями сопротивления и емкости. В индуктивности потечет переменный ток, который приведет к возникновению ЭДС самоиндукции.
.
Уравнение закона Ома для неоднородного участка цепи запишется в виде
Откуда
.
Это уравнение можно записать несколько иначе:
.
Проинтегрировав, это выражение получим
.
Так как , то .
Обозначим через , тогда
.
Сопоставив выражение с выражением, связывающим амплитудные значения тока и напряжения , получим, что роль сопротивления в данном случае играет величина . Эта величина носит название реактивного индуктивного сопротивления или просто индуктивного сопротивления. Обозначается оно через :
.
В нашем случае все приложенное напряжение приложено к индуктивности, следовательно
.
Заменив через , получим
.
Сравнивая полученное выражение с выражением для силы тока в индуктивности, мы видим, что падение напряжения на индуктивности опережает по фазе ток, текущий через индуктивность на .
Если направить ось токов горизонтально, то векторная диаграмма цепи будет иметь вид:
Переменный ток, текущий через емкость
Подадим переменное напряжение на емкость. Сопротивлением подводящих проводов и индуктивностью цепи пренебрежем. Тогда напряжение на конденсаторе будет равно внешнему напряжению, т.е.
|
|
;
, .
.
Умножим обе части равенства на , тогда
.
Продифференцировав по , найдем, с учетом того, что ,
.
Обозначим через , тогда
.
Так как , то
. (2)
Сопоставив выражение с выражением, связывающим амплитудные значения токов и напряжений , мы видим, что роль сопротивления в данном случае играет величина . Она называется реактивным сопротивлением. Обозначается оно через .
Для постоянного тока , следовательно . Это значит, что постоянный ток через конденсатор течь не может.
Так как в рассматриваемом случае все приложенное напряжение приложено к емкости, то
.
Заменив через , получим
.
Сравнивая полученное выражение с выражением для силы тока в конденсаторе (2), мы видим, что падение напряжения на емкости отстает по фазе от тока на .
Векторная диаграмма цепи будет иметь вид:
Цепь переменного тока, содержащая емкость, индуктивность и сопротивление.
Подадим на концы цепи, составленной из последовательно соединенной емкости, индуктивности и сопро-тивления, переменное напряжение частоты .
В цепи возникнет переменный ток той же частоты, амплитуда и фаза которого определяется величиной , и .
Построим векторную диаграмму этой цепи.
Падение напряжения на сопротивлении будет равно , а фаза напряжения совпадает с фазой тока.
Падение напряжения на индуктивности, амплитудное значение которого равно , опережает ток, как мы уже знаем, на . Поэтому вектор повернут относительно оси токов против часовой стрелки на угол .
Падение напряжения на емкости с амплитудой отстает от тока по фазе, как мы уже знаем, на . Следовательно, вектор должен быть повернут относительно оси токов на угол по часовой стрелке.
Сложив вектора , и , получим вектор приложенного внешнего напряжения, с амплитудой . Этот вектор образует с осью токов угол , величина которого равна
.
Как следует из диаграммы,
.
Откуда
.
Величина называется полным сопротивлением цепи.
Величина называется реактивным сопротивлением.
Таким образом,
.
В зависимости от соотношения и ток в цепи или отстает от внешнего напряжения или опережает его. Если , т.е , изменения тока происходят синфазно . Этому условию удовлетворяет частота .
При этом и . и противоположно направлены.
Это явление носит название резонанса напряжений, а соответствующая частота называется резонансной частотой.
Векторная диаграмма для этого случая изображена ниже.
Явление резонанса напряжений характерно тем, что полное сопротивление оказывается чисто активным и имеет наименьшую при данных параметрах цепи величину.
Резонанс токов
Рассмотрим цепь, образованную параллельно включенной емкостью и индуктивностью. Подадим на нее переменное напряжение, изменяющееся по закону
.
Тогда .
Силы токов в параллельных ветвях равны
, где ;
, где .
Как следует из этих выражений, токи и находятся в противофазе ( отстает от на , а опережает на ).
Ток в неразветвленной части цепи
.
Т.к.
, то
.
При ток в неразветвленной части цепи будет равен нулю, хотя токи и в отдельных ветвях могут быть очень велики. Это явление называется резонансом токов. Из условия для резонансной частоты получается такое же значение, что и при резонансе напряжений:
.
Отсюда определение: явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные индуктивное и емкостное сопротивления, при приближении частоты вынуждающей ЭДС к резонансной частоте контура называется резонансом токов.
Соотношения между токами и при резонансе можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы.
При построении диаграмм токов вектора токов нужно откладывать относительно оси напряжений. Как мы уже отмечали, отстает от на , а опережает на . При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы и результирующий ток равен нулю.
Рассмотрим явление резонанса токов для цепи содержащей , и , включенных по следующей схеме.
Силы токов в параллельных ветвях равны
;
;
где
; ;
; .
Сила тока в неразветвленной части цепи равна
,
где
;
.
Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается активным и имеет наибольшую возможную при данных параметрах цепи величину. При этом токи и значительно превышают ток , текущий через источник и вся мощность выделяется на активном сопротивлении цепи .
Мощность, выделяемая в цепи переменного тока
Как мы уже знаем, мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока
,
где
,
,
где - разность фаз между током и напряжением.
Тогда .
Из тригонометрии нам известно, что
.
Тогда .
График зависимости представлен ниже.
Среднее значение, относительно которого колеблется мгновенная мощность,
. (3)
Ранее при рассмотрении цепи переменного тока, содержащей , и , мы получим формулу
.
Из тригонометрии нам известно, что
.
Тогда
. (4)
Величина, стоящая в знаменателе, как мы знаем, называется полным сопротивлением цепи. Обозначается буквой . Тогда
.
Подставив это значение косинуса в формулу для , получим
.
Т.к. , то
.
Сравнив эту формулу с формулой мощности, выделяемой в цепи постоянного тока, , мы видим, что
.
Эта величина называется эффективным значением силы тока.
По аналогии величина носит название эффективного (или действующего) напряжения.
Эти понятия введены потому, что мгновенное значение силы переменного тока непрерывно изменяется, а ее среднее значение равно нулю. Поэтому для измерения переменных токов решили использовать их тепловые действия.
Дейтвующей или эффективной силой переменного тока называется сила такого постоянного тока, который в том же проводнике и за то же время выделит такое же количество теплоты, как и данный переменный ток.
С использованием действующих значений формула для средней мощности переменного тока формула (3) примет вид:
.
Входящее в эту формулу значение носит название коэффициента мощности.
Если реактивное сопротивление цепи равно нулю, т.е. , то, согласно формуле (4), и, следовательно, .
При чисто реактивном сопротивлении цепи, т. е. при и средняя мощность, выделяемая в цепи, равна нулю.
В технике стремятся сделать как можно больше. При малом для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большой силы. При этом возникают потери в проводящих проводах и приходится увеличивать их сечение.