На вынужденные колебания

На стальной балке (двутавр № 20) установлен двигатель массой m = 750 кг, частота вращения вала которого n = 680 об/мин (рисунок 1). Из-за неуравновешенности вращающихся частей на балку, кроме его веса, действует центробежная сила Р ₀ = 1,7 кН. Длина балки l = 7 м; a = 0,25 l = 1,75 м. Модуль Юнга стали Е = 2 × 10⁵ МПа; расчетное сопротивление R = 150 МПа; ускорение свободного падения g = 9,8 м/с².

Требуется: определить амплитуду вынужденных колебаний системы в месте, где установлен двигатель; найти полные значения нормальных напряжений в опасном сечении и построить график их изменения во времени; проверить прочность балки; выполнить проверку на резонанс. Собственный вес балки и силы сопротивления не учитывать. Число степеней свободы. Систему можно представить в виде невесомой балки с точечной массой, которая может двигаться только по вертикали. Поэтому система обладает одной степенью свободы. Перемещения массы (прогибы балки) обозначим y (t).

Рисунок 1

Геометрические характеристики балки. Из сортамента прокатной стали выписываем значения момента инерции и момента сопротивления заданного двутавра.

Единичное перемещение. В направлении y (t) прикладываем вертикальную единичную силу и строим эпюру (рисунок 2). Так как система статически неопределима, при построении пользуемся таблицей 1.

Моменты в характерных сечениях А, В, С

; ;

.

Для вычисления перемещения используем метод Мора, умножая эпюру саму на себя способом Симпсона:

Частоты колебаний и динамический коэффициент. Частота свободных колебаний балки

.

Частота вынужденных колебаний определяется по круговой скорости вращения вала:

.

Динамический коэффициент

.

Амплитуда вынужденных колебаний. При установившихся вынужденных колебаниях прогибы изменяются по закону

,

где амплитуда вынужденных колебаний

.

Напряжения в опасном сечении. Опасным является то сечение балки, в котором изгибающий момент максимален. По эпюре устанавливаем, что А – опасное сечение, в нем .

Постоянная составляющая часть напряжений от веса двигателя

.

Максимальная динамическая составляющая часть напряжений от действия возмущающей силы определяется как произведение статической составляющей напряжений от этой силы на динамический коэффициент:

.

Так как центробежная сила в начальный момент равна нулю и действует периодически, то полное напряжение будет изменяться циклически по следующему закону:

.

Цикл изменения напряжений несимметричный. Максимальное и минимальное значения

;

.

Период колебаний .

Изображаем цикл графически (рисунок 2).

Рисунок 2

Проверим выполнение условия прочности

; 80,48 < 150 МПа.

Условие выполняется, прочность балки обеспечена.

Проверка на резонанс. Как известно, резонанс – это явление, при котором амплитуда колебаний и напряжения неограниченно возрастают. Наблюдается при . В этом случае . Для нормальной работы системы необходимо, чтобы частоты собственных и вынужденных колебаний системы отличались не менее, чем на 20 %. Для рассматриваемой балки

.

Система недостаточно далека от резонанса. Увеличить разницу между w и j можно, изменив, например, параметры балки: размеры сечения (номер двутавра), длины a, b.

Таблица 1

þ Пример Расчета системы с двумя степенями свободы

на свободные колебания Для заданной системы (рисунок 1) требуется: определить частоты и амплитуды собственных колебаний, показать формы колебаний. Исходные данные: масса каждого из точечных грузов m = 2800 кг; длины участков a = 2,2 м, жесткость стержней системы EJ = 6 ∙ 107 Н ∙ м2.

Рисунок 1

Число степеней свободы. Движение из плоскости чертежа считаем невозможным. Вращением грузов пренебрегаем. В соответствии с гипотезой о малости перемещений каждый груз может совершать перемещения только в одном направлении – по перпендикуляру к недеформированной оси рамы. Поэтому система обладает двумя степенями свободы. Перемещения грузов обозначим y ₁(t), y ₂(t) (см. рисунок 1).

Определение единичных перемещений. В направлении y ₁(t) прикладываем вертикальную единичную силу и строим эпюру (рисунок 2, а). В направлении y ₂(t) прикладываем горизонтальную единичную силу и строим эпюру (рисунок 2, б).

Рисунок 2

Для вычисления перемещений используем формулу Мора:

(k, m = 1, 2),

где δ _km – перемещение по направлению y_k от действия единичного усилия, приложенного по направлению y_m.

Единичные перемещения δ₁₁, δ₂₂ называются главными, они всегда положительны; δ₁₂, δ₂₁ – побочные единичные перемещения, в соответствии с теоремой Максвелла δ₁₂ = δ₂₁. Все стержни прямолинейны, их жесткость постоянна. Для перемножения эпюр воспользуемся способом Симпсона.

; ;

.