Если координаты пунктов геодезической сети получены путем минимизации целевой функции (3.3), то гиперэллипсоид погрешности может быть определен в соответствии с теоремой Х.Вольфа [138] по изоповерхности критериальной функции
. (4.13)
Зная, что для геодезической сети в соответствии с (3.6) для точки минимума
, (4.14)
найдем приращение целевой функции из точки минимума до изоповерхности, соответствующей гиперэллипсоиду ошибок, определяя разность (4.13) - (4.14)
. (4.15)
Формула (4.15) лучше равенства (4.13), но задавая приращение целевой функции из точки минимума, равное m2, невозможно получить средний квадратический гиперэллипсоид ошибок методами нелинейного программирования по заданной изоповерхности.
В связи с этим предлагаем выполнять оценку точности геодезических сетей с использованием нелинейных методов на основе фундаментальной теоремы метода наименьших квадратов, для которой справедливо равенство [33, 40].
KZ = FKxFT, (4.16)
где F ¾ матрица первых частных производных нелинейной функции по результатам измерений; Kx ¾ корреляционная матрица измерений, С = Р(diag|V|n-2)
|
|
F = (ATCA)-1ATC. (4.17)
Для обратной матрицы весов вместо (4.16) можно записать
Q = FP-1FT. (4.18)
Если (4.17) подставить в (4.18), то получим известную формулу [22]
Q = G-1 ATDAG-1, (4.19)
где G = АТСА – информационная матрица Фишера, а D = Р(diag|V|2(n – 2)). Но равенство (4.19) ограничено в применении и используется лишь в методе Lp-оценок. Ее нельзя применять при многокритериальной оптимизации. В последнем случае рекомендуем получать матрицу F численным путем.
Известно, что для матрицы F число строк равно числу параметров, число столбцов ¾ числу измерений. Любой столбец матрицы F можно получить численным методом следующим путем.
1. Получим уравненные координаты всех пунктов геодезической сети , минимизируя целевую функцию (3.1).
2. Изменяем j-ое измерение на малую величину lj, и вновь выполняем уравнивание сети, получая вектор оценок параметров .
3. Элементы одного столбца S матрицы F при S = 1, …, t можно получить из выражения [4]
. (4.20)
Ясно, что для нахождения F необходимо выполнить K уравнительных вычислений.
Если при уравнивании n ¹ 2, т.е. используется отличный от способа наименьших квадратов метод, то в (4.16) вместо Kx подставляется матрица Kn = Kxn/2. При этом весовая матрицы будет определена из выражения
. (4.21)
Правильность вычисления матрицы F при любом n проверяется в соответствии с равенством
FV = 0, (4.22)
где V ¾ вектор поправок в результаты измерений из уравнивания.
Несмотря на то, что данный способ предлагается применять для геодезических сетей, оценим сначала этим способом прямую и линейную засечки с исходными данными в табл. 4.1.
|
|
В табл. 4.5 приведены результаты вычислений для прямой засечки; в табл. 4.6 указаны соответствующие результаты оценки точности.
Таблица 4.5
Матрицы F и векторы V для прямой засечки
Показатель степени n | Элементы матрицы F | Вектор V² | ||
- 0,09583 - 0,00366 | 0,00061 - 0,00092 | - 0,02258 0,04730 | 0,00 1,85 | |
0,00 | ||||
- 0,07629 - 0,01312 | 0,03784 - 0,01831 | 0,00515 0,03439 | 0,54 0,99 | |
0,74 | ||||
- 0,07233 - 0,01358 | 0,04470 - 0,01935 | 0,00977 0,03357 | 0,66 | |
0,78 | ||||
- 0,07080 - 0,01404 | 0,04759 - 0,1996 | 0,01221 0,03357 | 0,71 0,86 | |
0,79 |
Таблица 4.6