Число степеней свободы системы

Число степеней свободы (W) плоской системы - это количество независимых геометрических параметров, определяющих положение точек системы на плоскости. Под степенью свободы в данном случае понимают подвижность системы под нагрузкой, если эта система имеет бесконечно большую жесткость, то есть перемещается как абсолютно жесткое тело. Тогда, система с одной степенью свободы это механизм, имеющий подвижность в одном направлении и т.д. Исходя из этого, ГН системы должны иметь нулевую либо отрицательную степень свободы. Для определения числа степеней свободы необходимо ввести понятие диска. Диск – плоская ГН система. Это может быть часть стержневой системы, если геометрическая неизменяемость её доказана, либо система в целом. Изначально считается, что на простые диски система делится шарнирами. Конечная цель анализа – доказать, что вся система в целом является диском, неподвижным относительно земли (в случае, если она ГН).

		Представим диск, не присоединенный к земле в виде стержня. Такой диск имеет 3 степени свободы. Положение всех его точек можно определить тремя параметрами. Зная, например, координаты левого конца x1 и y1, а также угол наклона к оси X - a (рис.1.12). Внешние и внутренние связи, наложенные на систему, понижают число степеней свободы. Тогда выражение W для плоской стержневой системы можно представить следующим образом:

· Д – число дисков;

· Ш – число шарниров, соединяющих диски (удваивается, так как шарнир содержит 2 связи). Если шарнир соединяет несколько дисков, он называется кратным. Количество шарниров в таком узле определяется по формуле Ш=Д-1, где Д – число соединяемых дисков. Например, если в узле k шарниром соединяется 3 диска, а количеств шарниров этом узле – 2.

· С₀ – число опорных связей.

1.5

Подсчет числа степеней свободы шарнирно-стержневой системы (фермы).

Число возможных уравнений статики для расчета фермы - 2У (два уравнения статики для каждого узла). Количество неизвестных - С+С₀. Условие статической определимости такой системы: 2У=С+С₀ . Тогда выражение для подсчета числа степеней свободы фермы будет следующим

1.6 Условия геометрической неизменяемости системы

Определив число степеней свободы системы по выражениям (1.1), (1.2), можно делать следующие выводы. Если W>0 – система геометрически изменяема. Однако, если W£0, окончательный вывод о геометрической неизменяемости системы сделать нельзя (это обязательное, но недостаточное условие). Система может содержать достаточное количество связей для того, чтобы являться ГН, но расположение этих связей может не обеспечивать условие геометрической неизменяемости. Например, балка, показанная на рис. 1.3, б. Она имеет 1 диск, шарниров – 0 и 3 опорные связи. Число степеней свободы посчитанное по выражению (1.1), равное нулю. Однако, балка имеет 1 степень свободы и является геометрически изменяемой. Все её опорные связи параллельны. Здесь нет необходимой связи, препятствующей горизонтальному перемещению этой системы.

Приведём возможные выводы, которые можно сделать после определения W:

1. W>0 – система геометрически изменяема. Кинематический анализ системы закончен.

2. W=0 – возможно, что система ГН и СО

3. W<0 – возможно, что система ГН и СН.

В последних двух случаях необходимо продолжить анализ системы, рассмотрев её образование.