Нахождение точки перегиба

Чтобы исследовать функцию на вогнутость, необходимо опреде­лить знак второй производной. Если на данном промежутке f "(х) < 0 для всех х, то линия вогнута, если f "(х) > 0 для всех х, то линия выпукла. Выпуклую часть кривой от вогнутой отделяет точка перегиба.

Правило нахождения точек перегиба

Чтобы найти точку перегиба линии у = f(х), нужно:

1. Найти вторую производную функции у = f(х).

2. Приравняв ее к нулю, решить полученное уравнение.

3. Расположив корни второй производной х ₁, х ₂, х ₃, ... в порядке их возрастания, подставить в выражение для второй производной сначала лю­бое число, меньшее х₁ затем — любое число

х (х _1, х ₂); если в обоих слу­чаях получатся разные знаки, то при х = х ₁ имеется точка перегиба; если же одинаковые, то точки перегиба нет; аналогично определяется знак второй производной и далее аналогично поступить с числами х ₂, х ₃ и т. д.

4. Найти ординаты точек перегиба, т. е. найти значения функции в соответствующих точках.

Пример 1. Найти точки перегиба линии f(х) = х³.

Решение. Находим: f '(х) = Зх ²; f "(х) = 6 х; 6 х = 0 => х = 0; f (0) = 0.

Следовательно, A (0;0) – точка перегиба.

Пример 2. Найти точки пере­гиба линии у = х ⁴ -2 х ² - 3.

Решение. 1) у' = 4 х ³ - 4 х; у" = 12 х ² - 4.

2) у" = 0 => 12 х ² = 4; х = ± .

3) При |х| > имеем у" > 0 — линия вогнута; при |х| < имеем у" < 0 — линия выпукла. Точки ± являются точками перегиба (рис. 7).