Непрерывность функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: Функция называется непрерывной в точке , если:
1. функция определена в точке и некоторой её окрестности;
2. функция имеет предел при ;
3. предел функции при совпадает со значениями функции в этой точке,
(1)
Замечание: Так как , то равенство (1) можно переписать в виде , это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию вместо аргумента подставить его предельное значение .
Например: . Функция и предел поменялись местами в силу непрерывности функции .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Функция называется непрерывной в точке х0, если её односторонние пределы при равны между собой и совпадают со значением функции в этой точке.
(2)
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: Функция называется непрерывной в точке , если определена в точке и некоторой её окрестности и выполняется равенство: , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
|
|