Краевыми задачами называются задачи, в которых дополнительные условия задаются при двух значениях независимой переменной (на концах рассматриваемого участка).
Рассмотрим краевую задачу на примере обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
с граничными условиями
.
Сущность проекционных методов состоит в разложении решения по базису некоторых функций (проекций)
.
Базис выбирается в достаточной степени произвольно. В роли базисных функций могут выступать обычные полиномы , полиномы Лагранжа , Фурье-гармоники, наборы синусов и т.д.
Обязательные условия, которым должны удовлетворять базисные функции:
· разложение должно аппроксимировать ваше решение с любой, сколь угодно малой точностью (т.е. существует такое , что норма отклонения );
· функции должны быть линейно независимы;
· любая комбинация функций должна удовлетворять поставленным граничным условиям.
После выбора базисных функций разложение подставляется в исходное уравнение, и получается система для расчета неизвестных коэффициентов .
|
|
Недостатки проекционных методов:
· произвольность в выборе базиса (характер полученного решения в определенной степени определяется характером базисных функций);
· необходимость решения больших систем алгебраических уравнений.
Преимущества:
· решение находится сразу во всей области изменения независимой переменной, а не в отдельных точках;
· погрешность расчета одинакова во всем диапазоне изменения независимой переменной (отсутствует экспоненциальный рост погрешности, характерный для методов решения задачи Коши).