Запишем разностную схему (9.14) в виде:
Um+1 n - 2Um n + Um-1 n+a (Um n+1-2Um n+Um n-1 )=h2f(xm,yn), (9.15)
m=1,2,…,M-1; n=1,2,…,N-1;
U0n=j(0,yn); Umn=j(a,yn); n=1,2,…,N-1
Um0=j(xm,0); Umn=j(xm,b); m=1,2,…,M-1, где a=h2/l2 >0.
Введем обозначение:
Um =(Um 1, Um 2,…, Um N-1)T, m=1,…,M. (9.16)
Положим в формулах (9.15) n=1,2,…,N-1 и, используя (9.16), запишем систему уравнений (9.15) в векторной форме:
Um+1+AUm+Um-1=fm , m = 1,2,…, M-1 (9.17)
U0=j0; UM=ja ,
где A – трехдиагональная матрица порядка M-1 c диагональным преобладанием, т. к. |1+a|>|a|, a>0.
A = ,
fm = , j0 = , ja = .
Задача (9.17) аналогична задаче в п.9.3.3, отличие состоит лишь в том, что она имеет векторную форму. Предполагаем, что между соседними значениями векторов этого решения Um существует связь
Uk=RkUk+1+Sk, k=0,1,…,M-1, (9.18)
где Rk – это матрицы, Sk – векторы.
При k=0 R0=0 U0 = j0, S0=j0 - задано. Возьмем k=m-1, запишем (9.18), подставим в (9.17), затем опять преобразуем к виду (9.18). Получим соотношения для вычисления матриц и векторов
Um = -Um+1 (A + Rm-1 )-1 +(fm - Sm-1 ) (A + Rm-1)-1, m=1,2,…,M-1.
Вычислим матрицы Rk = - (A + Rk-1)-1 и векторы Sk= Rk (Sk-1-fk), для k=1,..,M-1. Что позволит, используя данное значение вектора на границе UM=ja, вычислить последовательно искомые значения вектора решения по формуле
|
|
Um = RmUm+1 + Sm, для m=M-1,M-2,…,1.
Задание:
1. Методом матричной прогонки найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в единичном квадрате с вершинами в точках A(0;0), B(0;1), C(1;1), D(1;0) (h=0,2).
Варианты
№ | U|AB | U|BC | U|CD | U|AD |
30y | 30(1-x2) | |||
20y | 30сos() | 30cos() | 20x2 | |
50y(1-y2) | 50sin(px) | |||
20y | 20y2 | 50x(1-x) | ||
50x(1-x) | 50y(1-y2) | 50x(1-x) | ||
30sin(py) | 20x | 20y | 30x(1-x) | |
40y2 | 40sin() | |||
30y2 | 30(1-x) | 40x2(1-x) | ||
50sin(px) | 50y(1-y2) | |||
20 sin(py) | 30x | 30y | 20x(1-x) | |
30cos() | 20x(1-x) | 25y(1-y2) | 30(1-x2) | |
10 y2(1-y) | 30sin(px) | 15x(1-x2) | ||
25y | 25(1-x2) | 30 (1-y) |
Список литературы:
1. Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобелькова. – М.: Наука, 1987.
2. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука. 1973.
3. Годунов С. К. Разностные схемы./ С. К. Годунов, С.В. Рябенький. – М.: Наука, 1973.
4. Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.
5. Самарский А. А. Численные методы. / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М.: Наука, 1989.
6. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений. / А. А. Самарский, Е.С. Николаев. – М.: Наука, 1978.