Отыскание обратных функций

Используя алгоритм "Селигер" или "Селигер-С", можно получить полную систему обратных функций для двоичной логики. В таблице приведена полная система функций двоичной логики.

xy z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 z11 z12 z13 z14 z15------------------------------------------------------------------------00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 101 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 110 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 111 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Перестановкой столбцов у и z исходной таблицы строим таблицу истинности для полной системы обратных функций.

xz y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 y1500 I i i i 0 0 0 0 1 1 1 1 j j j j01 J j j j 1 1 1 1 0 0 0 0 i i i i10 I 0 1 j i 0 1 j i 0 1 j i 0 1 j11 J 1 0 i j 1 0 i j 1 0 i j 1 0 i

Из таблицы обратных функций получаем полную симметричную систему обратных функций y = f1(x,z),а по алгоритму "Селигер" - y = f2(x):

у0 = iz'+jz y0 = jу1 = xz+ix'z'+jx'z y1 = x+jx'у2 = xz'+ix'z'+jx'z y2 = jx'у3 = i(xz+x'z')+j(xz'+x'z) y3 = ix+jx'у4 = x'z+ixz'+jxz y4 = x'+jxу5 = z y5 = 1у6 = xz'+x'z y6 = x'у7 = x'z+ixz+jxz' y7 = x'+ixу8 = x'z'+ixz'+jxz y8 = jxу9 = xz+x'z' y9 = xу10 = z' y10 = 0у11 = x'z'+ixz+jxz' y11 = ixу12 = i(xz'+x'z)+j(xz+x'z') y12 = ix'+jxу13 = xz+ix'z+jx'z' y13 = x+ix' - импликацияу14 = xz'+ix'z+jx'z' y14 = ix'у15 = iz+jz' y15 = i

Кстати, переход от левой системы уравнений к правой легко выполняется простой заменой z на 1 и z' на 0. Аналогичные результаты мы получим, если таблицу прямых функций заменим скалярными диаграммами, а из них по алгоритму ТВАТ выведем соотношения y = f(x). Самой примечательной из полученных функций является y13 = x+ix' - импликация. Из этого выражения легко просматривается физический смысл импликации: из истинности x следует истинность y.

Решая 1-ю задачу Порецкого, мы заметили аналогию между рекурсивным вхождением функции и комплементарным значением i. Резонно предположить, что такая аналогия существует между комплементарным j и рекурсивным значением инверсии функции. Проверим это предположение на полученных одноаргументных функциях и убедимся в их обратимости с помощью формулы эквивалентности.

0) (y = j) (y = y') M = (y=y') = yy'+y'y = 0 1) (y = x+jx') (y = x+x'y') = (y = x+y') M = (y=x+y') = y(x+y')+y'(x+y')' = xy+y'x'y = xy 2) y = jx' x'y' M = (y=x'y') = yx'y'+y'(x'y')' = y'(x+y) = xy' 3) y = ix+jx' xy+x'y' M = (y=xy+x'y') = y(xy+x'y')+y'(xy'+x'y) = xy+xy' = x 4) y = x'+jx x'+xy' = x'+y' M = (y=x'+y') = y(x'+y')+y'(x'+y')' = x'y 5) y = 1 M = (y=1) = y&1+y'&0 = y 6) y = x' M = (y=x') = xy'+x'y 7) y = x'+ix x'+xy = x'+y M = (y=x'+y) = y(x'+y)+y'(x'+y)' = y+xy' = x+y 8) y = jx xy' M = (y=xy') = yxy'+y'(xy')' = x'y' 9) y = x M = (y=x) = x'y'+xy 10)y = 0 M = (y=0) = y&0+y'&1 = y' 11)y = ix xy M = (y=xy) = yxy+y'(xy)' = xy+y' = x+y' 12)y = ix'+jx x'y+xy' M = (y=x'y+xy')=y(x'y+xy')+y'(x'y'+xy)=x'y+x'y' = x' 13)y = x+ix' x+x'y = x+y M = (y=x+y) = y(x+y)+y'(x+y)' = y+x'y' = x'+y 14)y = ix' x'y M = (y=x'y) = yx'y+y'(x'y)' = x'y+y' = x'+y' 15)y=i y M = (y=y) = y&y+y'&y' = y+y' = 1

После обращения были получены все 16 прямых функций от двух аргументов без какого-либо искажения. Это подтверждает правильность всех алгоритмов решения логических уравнений и корректность комплементарной логики.