Расчетно-графическая работа №1
По дисциплине «Математический анализ»
по теме « Приложение производной к исследованию функций и построению графиков»
Экономика, 1 курс, 1 семестр
Примеры решения задач.
Замечание.
Исследование функции и построение её графика можно проводить по следующему плану:
1. Найти область определения функции. Выделить точки разрыва.
2. Найти асимптоты сначала вертикальные, а затем наклонные.
3. Исследовать функцию на чётность.
4. Определить интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
6. Используя результаты исследования построить график функции (при необходимости взять несколько дополнительных точек).
Задача 1.
Исследовать функцию
Решение:
1. Данная функция определена при всех значениях аргумента, исключая х=0.
Область определения функции состоит из двух интервалов:
. Х=0-точка разрыва функции.
2. Найдем асимптоты графика функции
|
|
а) вертикальные.
Найдем односторонние пределы при .
следовательно, х=0-точка бесконечного разрыва и х=0-вертикальная асимптота графика функции.
б) наклонные асимптоты.
Наклонные асимптоты найдем, используя формулы
.
Имеем
.
Следовательно, прямая у=1 является асимптотой графика функции. (у=1- горизонтальная асимптота, которая является частным случаем наклонной асимптоты при к=0).
3. Функция является четной, если и нечетной, если . Для нашей функции
. Ни одно из равенств не выполняется, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
Находим первую производную
Приравниваем первую производную к нулю и решим уравнение
-критическая точка.
не существует при х=0, но в этой точке и сама функция не существует, значит, она не может быть точкой экстремума, но в исследование на возрастание и убывание её включаем. Нанесем на числовую прямую точки х=1 и х=0 и определим знаки производной на каждом промежутке.
Итак, при x<0; y'>0, значит, функция возрастает. Если 0<x<1; y'<0, функция убывает. Если х>1;y'>0, функция возрастает. При переходе через точку х=1 y' меняет знак с" -"на "+", следовательно, х=1-точка минимум.
У(1)=0. А(1;0)-минимум функции.
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Найдем вторую производную
Наносим точки х=0 и x=3/2 на числовую прямую и находим знаки .
|
|
При x<0, >0→график функции вогнутый.
При 0˂x<3/2, >0→график функции вогнутый.
При x>3/2, <0→график функции выпуклый.
Т.о меняет знак, следовательно, x=3/2 является абсциссой точки перегиба графика функции.
Найдем ординату у(3/2)=1/9.
Итак, (3/2;1/9)-точка перегиба графика функции.
6. По данным исследования построим график функции
Замечание: при построении графика сначала в систему координат внести точки экстремума, точки перегиба и асимптоты.