В своей книге "История с узелками" [13] Льюис Кэрролл приводит огромное количество изящных и остроумных логических задач. В отличие от современных академиков-"логиков" выдающийся английский математик не боится уронить свой авторитет, применяя совершенно новые методы для анализа и синтеза силлогизмов и соритов. В этих примерах восхищают яркость таланта учёного и писателя, юмор и увлекательность изложения чрезвычайно серьёзной науки. За сто с лишним лет на логическом небосклоне не появилось ни одной звезды, сопоставимой по гениальности с такими учёными, как Порецкий П.С. и Л. Кэрролл. Более того, все современные "авторитеты" от логики не доросли даже до освоения научного наследия своих великих предшественников и сделали всё, чтобы превратить науку о мышлении в болтологику. Автор с огорчением констатирует, что классическая логика деградировала по сравнению с концом 19-го столетия.
Мы вместе с читателями пройдёмся по всем задачам величайшего английского гения и проверим корректность их решения на основе Русской логики. Общеизвестна страсть Л.Кэрролла к "инверсной силлогистике". Вместо того, чтобы просто сказать, что "Все y суть m", знаменитый учёный обязательно всё вывернет наизнанку и заявит, что "Ни один m' не есть y". Простим Кэрроллу эту слабость и не будем корректировать его силлогизмы. Подобные уловки ещё имеют смысл в классической логике, которая приходит в замешательство от инверсных терминов, но в Русской логике такие выверты просто смешны. Кроме того, остроумный логик зачастую так закрутит текст посылки, что понять её смысл становится просто невозможно. Это уже слишком: условие задачи должно быть абсолютно прозрачным и математически жёстким, иначе такая постановка воспринимается как недомыслие. Однако следует подчеркнуть высочайшую дисциплину мышления гениального логика: он в каждой задаче оговаривает универсум и чётко формулирует содержание терминов. Современные "логики" сплошь и рядом нарушают эти требования.
Автор заранее извиняется за нарушение некоторых грамматических норм. Вызвано это стремлением сократить длинноты в суждениях при сохранении математической точности. Например, вместо фразы "Некоторые мучные изделия, не являющиеся сдобными булочками, не суть пышные" будет записано "Некоторые не-сдобные булочки не пышны". Дефис перед прилагательным "сдобные" означает логическое отрицание всего термина "сдобные булочки".
5. Произвести синтез и анализ силлогизмов([13], стр. 289) на основе алгоритмов ИЭИ и ТВАТ. Частноутвердительное суждение Ixy задаётся в базисе Васильева. Нумерация задач соответствует [13].
4.1
Ни одно m не есть x'.Все m' суть y.Решение
M = Emx'Am'y = (m'+x)(m+y) = mx+m'y.F(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x = Ex'y'. m ===============---------------------- x ====================----------------- y --------============================= F(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x = Ex'y'.Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ совпали.
4.2
Ни одно m' не есть x.Некоторые m' суть y'.Решение
M = Em'xIm'y' = m+x'.F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m ===============---------------------- x =========---------------------------- y1 --------------------==========------- y2 ==============----------------=====-- y3 ======------------------------=======xy | F(x,y) |
i | |
i |
Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла F(x,y) = Ix'y'(3), что не соответствует скалярным диаграммам.
4.3
Все m' суть x.Все m' суть y'.Решение
M = Am'xAm'y' = (m+x)(m+y') = m+xy'.F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m ====================----------------- x -------------======================== y1 ======------------------------------- y2 --------------=====------------------ y3 ----============--------------------- y4 ================---------------------xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i |
Ответы совпали.
4.4
Ни один x' не есть m'.Все y' суть m.Решение
M = Em'x'Ay'm = (m+x)(m+y) = m+xy.F(x,y) = xy+i = Ixy(3). m ====================----------------- x -------------======================-- y1 ------------------=================-- y2 ----------=========================== y3 ==============-------==============--xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i | |
Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла нет заключения, что не соответствует скалярным диаграммам.
4.5
Некоторые m суть x'.Ни один y не есть m.Решение
M = Imx'Eym = m'+y'.F(x,y) = y'+i = Ixy'(7). m ====================----------------- x -------------==========-------------- y1 --------------------------=========== y2 --------------------================= y3 ---------------------====------------xy | F(x,y) |
i | |
i |
Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла заключение f(x,y) = Ix'y'(3), что не соответствует скалярным диаграммам.
4.6
Ни один x' не есть m.Ни одно m не есть y.Решение
M = Ex'mEmy = (x+m')(m'+y') = m'+xy'.F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m ====================----------------- x =========================------------ y1 ----------------------------========= y2 --------------------================= y3 ---------------------====------------xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i |
Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла нет заключения, что не соответствует скалярным диаграммам.
4.7
Ни одно m не есть x'.Некоторые y' суть m.Решение
M = Emx'Iy'm = m'+x.F(x,y) = x+i = Ixy(5). m ====================----------------- x =========================------------ y1 ----------------=========------------ y2 ========--------------=============== y3 -------------=============-----------xy | F(x,y) |
i | |
i | |
Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла заключение f(x,y) = Ixy'(3), что не соответствует скалярным диаграммам.
4.8
Все m' суть x'.Ни одно m' не есть y.Решение
M = Am'x'Em'y = (m+x')(m+y') = m+x'y'.F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3). m ====================----------------- x ===============---------------------- y1 ------------------=======------------ y2 ========----------------------------- y3 ====================-----------------xy | F(x,y) |
i | |
i | |
Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла заключение f(x,y) = Ixy'(3), что не соответствует скалярным диаграммам.
4.9
Некоторые x' суть m'.Ни одно m не есть y'.Решение
M = Im'x'Emy' = m'+y. F(x,y) = y+i = Ixy(7). m ====================----------------- x --------------===============-------- y1 =========================------------ y2 =============================-------- y3 ====================------===========xy | F(x,y) |
i | |
i | |
Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла отсутствует заключение, что не соответствует скалярным диаграммам.
4.10
Все x суть m. Все y' суть m'.Решение
M = AxmAy'm' = (x'+m)(m'+y) = my+m'x'.F(x,y) = x'+y = Axy.Поскольку алгоритм ИЭИ при получении общеутвердительного или общеотрицательного заключения работает безукоризненно, то в подобных случаях алгоритм ТВАТ можно не использовать.
Ответы по [13] и по алгоритму ИЭИ не совпали. У Кэрролла заключение выглядит несколько иначе: f(x,y) = AxyAy'x'. Здесь Кэрролл что называется перемудрил, поскольку Axy = Ay'x' = x'+y. Поэтому решение Кэрролла является простой тавтологией.
4.11
Ни одно m не есть x.Все y' суть m'.Решение
M = EmxAy'm' = (m'+x')(m'+y) = m'+x'y.F(x,y) = x'y+i = Ix'y(3). m ====================----------------- x ----------------------------========= y1 ==========================----------- y2 =============================-------- y3 ====================------===========xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i |
Ответы по [13] и по алгоритмам ИЭИ, ТВАТ не совпали. У Кэрролла отсутствует заключение, что не соответствует скалярным диаграммам.
4.12
Ни один x не есть m.Все y суть m.Решение
M = ExmAym = (x'+m')(m+y') = m'y'+mx'.F(x,y) = x'+y' = Exy.4.13
Все m' суть x.Ни один y не есть m.Решение
M = Am'xEym = (x+m)(m'+y') = my'+m'x'.F(x,y) = x+y' = Ayx.4.14
Все m суть x.Все m' суть y.Решение
M = AmxAm'y = (x+m')(m+y) = m'y+mx.F(x,y) = x+y = Ay'x =Ax'y = Ex'y'.4.15
Ни один x не есть m.Ни одно m' не есть y.Решение
M = ExmEm'y = (x'+m')(m+y') = m'y'+mx'.F(x,y) = x'+y' = Exy = Axy' = Ayx'.4.16
Все x суть m'.Все y суть m.Решение
M = Axm'Aym = (x'+m')(m+y') = m'y'+mx'.F(x,y) = x'+y' = Exy.4.17
Ни один x не есть m.Все m' суть y.Решение
M = ExmAm'y = (x'+m')(m+y) = m'y+mx'.F(x,y) = x'+y = Axy.4.18
Ни один x не есть m'.Ни одно m не есть y.Решение
M = Exm'Emy = (x'+m)(m'+y') = my'+m'x'.F(x,y) = x'+y' = Exy.4.19
Все m суть x.Все m суть y'.Решение
M = AmxAmy' = (m'+x)(m'+y') = m'+xy'.F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m ====================----------------- x ===========================---------- y1 -----------------------------======== y2 ----------------------====----------- y3 ------------------------=============xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i |
4.20
Ни одно m не есть x.Все m' суть y.Решение
M = EmxAm'y = (m'+x')(m+y) = mx'+m'y.F(x,y) = x'+y = Axy.5. Приняв каждую из следующих пар конкретных суждений за посылку силлогизма, вывести заключение[13,стр.290].
5.1
Я совершил прогулку.Я чувствую себя лучше.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - люди, m - я, x - совершившие прогулку, y - чувствующие себя лучше.
M = AmxAmy = (m'+x)(m'+y) = m'+xy.F(x,y) = xy+i = Ixy(3). m -------------------===--------------- x ===========================---------- y1 ==============================------- y2 -----------------======-------------- y3 ---------------======================xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i | |
i |
т.е. "Некоторые из тех, кто совершил прогулку, чувствуют себя лучше".
5.2
Никто не читал этого письма, кроме Джона.Никто из тех, кто не читал этого письма,не знает его содержания.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - люди, m - прочитавшие письмо, x - Джон, y - знающие содержание письма.
M = (m ~ x)(m' ~ y') = (mx+m'x')(my+m'y') = mxy+m'x'y'.F(x,y) = xy+x'y' = (y ~ x).Здесь Л.Кэрролл допускает по меньшей мере 2 ошибки: подменяет эквивалентность терминов посылок общеотрицательными функторами и оперирует с единичным множеством как с общим.
m -------------------===--------------- x -------------------===--------------- y -------------------===---------------xy | F(x,y) |
т.е. "Джон и только Джон знает содержание этого письма".
5.3
Те, кто не стар, любят ходить пешком.Ни вы, ни я не стары.Решение
Введём следующие обозначения:
U - люди, m - старые, x - любящие пешую ходьбу, y - вы и я.
M = Am'xEym = (m+x)(m'+y') = my'+m'x.F(x,y) = x+y' = Ayx,т.е. "Вы и я любим ходить пешком".
5.4
Ваш курс всегда честен.Ваш курс - лучшая политика.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - курсы, m - ваши, x - честные, y - курсы, являющиеся лучшей политикой.
M = AmxAmy = (m'+x)(m'+y) = m'+xy.F(x,y) = xy+i = Ixy(3). m =====================---------------- x ===========================---------- y1 ==============================------- y2 ==========================----------- y3 ========================---==========xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i | |
т.е. "Честный курс - иногда лучшая политика".
5.5
Ни одно жирное животное не может бегать быстро.Некоторые гончие бегают быстро.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - животные, m - быстрые, x - жирные, y - гончие.
M = ExmIym(8) = (m'+x') & 1 = m'+x'.F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m =====================---------------- x -------------------------============ y1 ----------=============-------------- y2 =====---------------================= y3 ----------------=============--------xy | F(x,y) |
i | |
i |
т.е. "Некоторые гончие не жирные". Казалось бы, ответ совпал с результатом Л. Кэрролла, однако Кэрролл не оговорил базис, а следовательно, он ошибся: в классической силлогистике используется лишь базис Аристотеля.
5.6
Некоторые из тех, кто достоин славы, получают награду.Лишь тот, кто храбр, достоин славы.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - люди, m - достойные славы, x - получающие награду, y - храбрые.
M = ImxEy'm(8) = (m'+y) & 1 = m'+y. F(x,y) = y+i = Ixy(7). m =====================---------------- x ----------------==========----------- y1 =======================-------------- y2 ==============================------- y3 ====================----=============xy | F(x,y) |
i | |
i | |
т.е. "Некоторые храбрецы получают награду". Вновь результат Л.Кэрролла некорректен, хотя в словесной формулировке заключения идентичны: великий логик в принципе был не в состоянии определить базис.
5.7
Конфеты сладкие.Некоторые сласти очень нравятся детям.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - лакомства, m - сладости, x - конфеты, y - любимые детьми лакомства.
M = AxmImy(8) = (x'+m) & 1 = x'+m.F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m =====================---------------- x ============------------------------- y1 ----------------=========------------ y2 ================---------============ y3 ---------=============---------------xy | F(x,y) |
i | |
i |
т.е. "Некоторые не-конфеты - любимые детьми лакомства". Л.Кэрролл ошибочно утверждает, что заключение вывести нельзя.
5.8
Джон находится в этом доме.Все, кто находится в этом доме, больны.Решение
Введём следующие обозначения: универсум u - люди, m - находящиеся в этом доме, x - Джон, y - больные.
M = AxmAmy = (x'+m)(m'+y) = m'x'+my.F(x,y) = x'+y = Axy,т.е." Джон болен". Синтез по алгоритму ТВАТ даёт такой же результат, хотя аналитические операции с одиночными множествами далеко не всегда приводят к корректным заключениям.
5.9
Зонтик - очень нужная вещь в путешествии.Отправляясь в путешествие, всё лишнее следует оставлять дома.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - вещи, m - нужные, x - зонты, y - вещи, которые следует оставлять дома.
M = AxmAm'y = (x'+m)(m+y) = x'y+m.F(x,y) = x'y+i = Ix'y(3). m =====================---------------- x ============------------------------- y1 ----------------===================== y2 ================----================= y3 ---------============================xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i |
т.е. "Некоторые не-зонты следует оставлять дома". Вновь Кэрролл не в ладах с базисом.
5.10
Музыка, которую можно услышать, вызывает колебания воздуха.Музыка, которую нельзя услышать, не стоит того, чтобы за неё платили деньги.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - музыка, m - слышимая музыка, x - вызывающая колебания воздуха, y - стоящая того, чтобы за неё платили деньги.
M = AmxAm'y' = (m'+x)(m+y') = m'y'+mx.F(x,y) = x+y' = Ayx,т.е. " Вся музыка, которая стоит того, чтобы за неё платить деньги, вызывает колебания воздуха".
5.11
В некоторые праздничные дни идёт дождь.Дождливые дни навевают тоску.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - дни, m - дождливые, x - праздничные, y - тоскливые.
M = IxmAmy = m'+y.F(x,y) = y+i = Ixy(7). m =====================---------------- x ----------------============--------- y1 =======================-------------- y2 ===========================---------- y3 ====================---==============xy | F(x,y) |
i | |
i | |
т.е. "Некоторые праздничные дни тоскливы". Вновь Кэрролл не в ладах с базисом.
5.12
Ни один француз не любит пудинга.Все англичане любят пудинг.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u -люди, m - любящие пудинг, x - французы, y - англичане. M = EmxAym =(m'+x')(m+y') = m'y'+mx'.
F(x,y) = x'+y' = Exy,т.е. "Ни один француз - не англичанин".
5.13
Ни одну фотографию, на которой девушка хмурится или неестественно улыбается, нельзя считать удачной.Ни один фотограф не может удержаться, чтобы не снять девушку нахмуренной или неестественно улыбающейся.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - портреты девушек, m - портреты нахмуренных или неестественно улыбающихся девушек, x - удачные, y - фотолюбительские. M = EmxAym =(m'+x')(m+y') = m'y'+mx'.
F(x,y) = x'+y' = Exy,т.е. "Ни одну любительскую фотографию девушки нельзя считать удачной".
5.14
Все бледные люди флегматичны.Ни о ком нельзя сказать что у него поэтическая внешность, если он не бледенРешение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - люди, m - бледные, x - флегматичные, y - с поэтической внешностью.
M = AmxEym' =(m'+x)(m+y') = m'y'+mx.F(x,y) = x+y' = Ayx,т.е. "Все поэтические натуры флегматичны".
5.15
Ни один старый скряга не жизнерадостен.Некоторые старые скряги тощи.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - люди, m - старые скряги, x - жизнерадостные, y - тощие. M = EmxImy = m'+x'.
F(x,y) = x'+i = Ix'y(5). m =====================---------------- x ------------------------------======= y1 -------------===========------------- y2 -------------=================------- y3 =====----------------------==========xy | F(x,y) |
i | |
i |
т.е. "Некоторые нежизнерадостные особы -тощие". Вновь Кэрролл не в ладах с базисом.
5.16
Те,кто сохраняет самообладание, не вспыльчивы.Некоторые судьи вспыльчивы.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - люди, m - вспыльчивые, x - сохраняющие самообладание, y - судьи.
M = Axm'Iym = m'+x'.F(x,y) = x'+i = Ix'y(5).F(x,y) =x'+i = Ix'y(5),т.е. "Некоторые судьи теряют самообладание". Вновь Кэрролл не в ладах с базисом.
5.17
Все свиньи жирные.Ни одно животное, вскормленное на ячвенном отваре, не жирно.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - животные, m - жирные, x - свиньи, y - вскормленные на ячменном отваре.
M = AmxEym = (m+x')(y'+m') = m'x'+my'.F(x,y) = x'+y' = Exy,т.е. "Ни одна свинья не вскормлена на ячменном отваре".
5.18
Все непрожорливые кролики черные.Ни один старый кролик не склонен к воздержанию в пище.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - кролики, m - прожорливые, x - чёрные, y - старые.
M = Am'xEym' = (m+x)(y'+m) = xy'+m.F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3). m =======================-------------- x ---------------====================== y1 -----------------=====--------------- y2 ---=======--------------------------- y3 ===================------------------xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i |
т.е. "Некоторые чёрные кролики не старые".
5.19
Некоторые картины свидетельствуют о зрелости их автсров.Незрелый художник не пишет ничего подлинно ценного.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - произведения искусства, m - зрелые произведения, x - картины, y - представляющие подлинную ценность.
M = ImxEm'y = y'+m. F(x,y) = y'+i = Ixy'(7). m =======================-------------- x ---------------====================== y1 -----------------=====--------------- y2 ---=======--------------------------- y3 ===================------------------xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i |
т.е. "Некоторые картины не представляют подлинной ценности". У Л.Кэрролла нет заключения.
5.20
Я никогда не пренебрегаю важными делами.Ваше дело не имеет особой важности.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - дела, m - важные, x - пренебрегаемые, y - ваше.
M = EmxEmy = (m'+x')(y'+m') = m'+x'y'. F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3). m ==================------------------- x -----------------------------======== y1 -----------------------===----------- y2 -------------------------------===---xy | F(x,y) |
i | |
i |
т.е. "Некоторые дела, которыми я пренебрегаю, не включают ваше дело". Здесь по алгоритму ТВАТ получено более корректное заключение, чем по алгоритму ИЭИ, т.к. учтены особенности единичного множества. У Л.Кэрролла нет заключения.
5.21
Некоторые уроки трудны.То, что трудно, требует особого внимания.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - предметы, m - трудные, x - уроки, y - требующие особого внимания.
M = IxmAmy = m'+y.F(x,y) = y+i = Ixy(7). m ==================------------------- x --------------==============--------- y1 ========================------------- y2 =================================---- y3 ==================--------===========xy | F(x,y) |
ш | |
i | |
т.е. "Некоторые уроки требуют особого внимания". У Л.Кэрролла такое же заключение, но по умолчанию предполагается 3-й базис, т.е. базис Аристотеля, что неверно.
5.22
Все умные люди пользуются всеобщей любовью.Все обязательные люди пользуются всеобщей любовью.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - люди, m - любимые, x - умные, y - обязательные.
M = AxmAym(x'+m)(y'+m) = m+x'y'.F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3). m ==================------------------- x ===========-------------------------- y1 -------------------=====------------- y2 =====-------------------------------- y3 ===============----------------------xy | F(x,y) |
i | |
i | |
i |
т.е. "Некоторые неумные - необязательные". У Л.Кэрролла нет заключения, что неверно.
5.23
Невнимательному человеку ничего не стоит допустить оплошность.Ни один внимательный человек не забывает о своём обещании.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - люди, m - внимательные, x - допускающие оплошность, y - забывающие свои обещания.
M = Am'xEmy = (x+m)(y'+m') = my'+m'x.F(x,y) = x+y' = Ayx,т.е. "Все забывчивые допускают оплошность".
Остальные задачи этого параграфа у Л.Кэрролла даны без решений и ответов, поэтому мы их оставим для самостоятельной проработки. Однако задача 5.34 представляется любопытной, посему сделаем для неё исключение.
5.34
Ничто разумное никогда не ставило меня в тупик.Логика ставит меня в тупик.Решение
Введём следующие обозначения:
Универсум u - науки, m - ставящие в тупик, x - разумные, y - логика.
M = EmxAym = (x'+m')(y'+m) = m'y'+mx'.F(x,y) = x'+y' = Ayx',т.е. "Вся логика неразумна". Весьма симптоматичное заявление маститого логика. С этим мнением нельзя не согласиться, если иметь в виду классическую логику и классических "логиков".